$(x^m + \frac{n}{x})^m$ ifadesinin açılımında baştan 4. terim üzerinden $m+n$ toplamının bulunması

YKS TYT
1
  1. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere
    ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıildiğinda
    baştan 4. terim 80-x olduğuna göre m+ntoplamı
    kaçtır?
    A Kitapçiği
    A) 7
    B) 8
    C) 10
    D) 11
    E) 12

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 52.2 KB

2

(x^m + \frac{n}{x})^m ifadesinin açılımında baştan 4. terim üzerinden m+n toplamının bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

Binom açılımında (a+b)^n ifadesi a’nın azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r+1). terim şu formülle bulunur:

\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri ve Formülü Eşleştirme
Soruda verilen ifade: (x^m + \frac{n}{x})^m
Baştan 4. terim istendiği için r+1 = 4 yani r = 3 alırız.
Burada açılımın kuvveti (formüldeki n) soruda m olarak verilmiştir.

Adım 2 — Baştan 4. Terimi Genel Formda Yazma

\binom{m}{3} \cdot (x^m)^{m-3} \cdot (\frac{n}{x})^3 = 80 \cdot x^7

Adım 3 — x’in Kuvvetlerini Düzenleme ve Eşitleme
Terimdeki x’li kısımları ayıralım:

(x^m)^{m-3} \cdot \frac{1}{x^3} = x^{m^2 - 3m} \cdot x^{-3} = x^{m^2 - 3m - 3}

Soruda bu terimin x^7 olduğu belirtilmiş. O halde:

m^2 - 3m - 3 = 7
m^2 - 3m - 10 = 0

Denklemi çarpanlarına ayırırsak: (m-5)(m+2) = 0.
m bir pozitif tam sayı olduğu için m = 5 bulunur.

Adım 4 — Katsayıları Eşitleme ve n Değerini Bulma
Şimdi katsayı kısmına bakalım:

\binom{m}{3} \cdot n^3 = 80

m = 5 değerini yerine yazalım:

\binom{5}{3} \cdot n^3 = 80
10 \cdot n^3 = 80
n^3 = 8

Buradan n = 2 bulunur.

Adım 5 — Sonuç Hesaplama
Bizden istenen m + n toplamı:

5 + 2 = 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Binom Katsayısı

  • Tanım: Bir açılımdaki terimlerin başındaki çarpanlardır.
  • Bu problemde: \binom{5}{3} kombinasyonu kullanılarak katsayı 10 olarak hesaplanmıştır.

2. Baştan r+1. Terim

  • Tanım: Azalan kuvvetlere göre sıralamada belirli bir sıradaki terimi bulma yöntemidir.
  • Bu problemde: 4. terim dendiği için r yerine 3 yazılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: r Değerini Karıştırmak

  • Yanlış: Baştan 4. terim için r=4 almak.
  • Doğru: Formül (r+1) üzerine kuruludur, bu yüzden r=3 alınmalıdır.
  • Neden yanlış: İlk terim \binom{n}{0} ile başladığı için 4. terim her zaman 3. indisle hesaplanır.

Bu çözümdeki adımlarda veya binom açılımının diğer kurallarında anlamadığın bir nokta var mı? Benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?