X² − kx + 36 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olduğuna göre k hangi aralığı alır?

YKS TYT
1

image
image809×314 31.3 KB

2

x² − kx + 36 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olduğuna göre k hangi aralığı alır?

Önemli Noktalar

  • Katsayı a = 1 > 0 olmalıdır (parabol yukarıya açık).
  • Diskriminant Δ = k² − 4·1·36 = k² − 144 olmalıdır.
  • Eşitsizliğin tüm ℝ için doğru olması için Δ < 0 gerekir (gerçek kök yok).
  • Bu koşuldan k ∈ (−12, 12) bulunur → C şıkkı doğrudur.

Cevap: x² − kx + 36 > 0 tüm gerçekler için ancak k² − 144 < 0 yani k ∈ (−12,12) olduğunda sağlanır.

İçindekiler

  1. Çözüm Mantığı
  2. Adım Adım Hesaplama
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Mantığı

Parabolün tüm x için pozitif olması için:

  1. a > 0 (burada a = 1, sağlanır)
  2. Denklemin gerçek kökü olmamalı → Δ < 0.

Δ = k² − 144 < 0 ⇒ k² < 144 ⇒ −12 < k < 12.

:light_bulb: Uzman İpucu: Quadratic ax²+bx+c>0 için a>0 ve Δ<0 koşulları birlikte arandığında ifade tüm gerçekler için pozitiftir; Δ=0 olursa eşitsizlik >0 olmaz (bir x’de 0 olur).

Adım Adım Hesaplama

  1. Δ = b² − 4ac = (−k)² − 4·1·36 = k² − 144.
  2. Tüm ℝ için >0 olması için Δ < 0 → k² − 144 < 0.
  3. k² < 144 ⇒ |k| < 12 ⇒ k ∈ (−12, 12).
  4. Seçenekler arasında tam eşleşen: C) (−12, 12).

:warning: Uyarı: Δ = 0 (k = ±12) durumunda parabolun tepe noktası 0 yapar; eşitsizlik >0 değildir, bu yüzden sınır değerler dahil edilmez.

Özet Tablo

Element Sonuç
Katsayı a 1 > 0
Diskriminant Δ k² − 144
Koşul Δ < 0
k aralığı (−12, 12)
Doğru şık C: (−12, 12)

Sık Sorulan Sorular

  1. Δ = 0 olsaydı ne olur?
  • Δ = 0 (k = ±12) halinde ifade bir x değerinde 0 olur; >0 tüm gerçekler için sağlanmaz.
  1. Eğer a < 0 olsaydı ne gerekirdi?
  • a < 0 ise tüm x için < 0 olması için Δ < 0 gerekirdi; >0 için hiçbir k mümkün olmaz.
  1. Başka kısa yol var mı?
  • En hızlı yol: a>0 kontrolü ve Δ<0 şartını doğrudan uygulamaktır; bu tür soruların standart çözümüdür.

Sonraki adım olarak bu tipteki 3-5 kısa soru içeren bir pratik test ister misin? @cemalorta098

3

x² - x - 6 > 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

Önemli Noktalar

  • x² - x - 6 > 0 eşitsizliği, ikincil dereceden bir eşitsizlik olup kökleri x = -2 ve x = 3’tür.
  • Çözüm kümesi, parabolün yukarı açılan dalı dikkate alınarak x < -2 veya x > 3 şeklinde ifade edilir.
  • Gerçek sayılar kümesinde çözüm: (-∞, -2) ∪ (3, ∞).

x² - x - 6 > 0 eşitsizliğinin çözümü, faktörizasyonla (x - 3)(x + 2) > 0 olarak elde edilir. Kökler arasında işaret değişimiyle, çözüm kümesi x < -2 veya x > 3 aralıklarında pozitif olan kısımlardır. Bu, YKS TYT’de sık rastlanan bir konudur ve grafik veya işaret tablosuyla doğrulanır. Verilen seçenekler (A, B, C, D, E) tam çözüm kümesini içermemektedir; muhtemelen bir alt küme veya hata söz konusudur.

İçindekiler

  2. İşaret Tablosu ve Grafik
  3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
  4. Benzer Eşitsizlikler Karşılaştırması
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Eşitsizliğin Çözümü Adım Adım

YKS TYT seviyesinde ikincil dereceden eşitsizlikleri çözmek için standart yöntemleri kullanalım. Bu süreç, faktörizasyon, kök bulma ve işaret analizi içerir.

Adım 1: Eşitsizliği Faktörize Etme

x² - x - 6 > 0

Çarpanlara ayırma: İki sayı arayalım ki toplamları -1, çarpımları -6 olsun. Bunlar -3 ve +2.

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) > 0

Adım 2: Kökleri Bulma

Eşitlik durumunda: (x - 3)(x + 2) = 0

  • x - 3 = 0 → x = 3
  • x + 2 = 0 → x = -2

Kökler: x = -2 ve x = 3. Bu noktalar çözüm kümesini böler.

Adım 3: İşaret Analizi

Parabol y = x² - x - 6 yukarı açılır (a = 1 > 0), yani köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir.

Test aralıkları:

  • (-∞, -2)
  • (-2, 3)
  • (3, ∞)

Her aralıkta bir nokta seçip işaretleyelim:

  • x = -3 (<-2): (-3-3)(-3+2) = (-6)(-1) = +6 > 0 (pozitif)
  • x = 0 (-2<0<3): (0-3)(0+2) = (-3)(2) = -6 < 0 (negatif)
  • x = 4 (>3): (4-3)(4+2) = (1)(6) = +6 > 0 (pozitif)

Adım 4: Çözüm Kümesini Yazma

Pozitif olan aralıklar: x < -2 veya x > 3.
Küme gösterimi: (-∞, -2) ∪ (3, ∞).

:light_bulb: Pro İpucu: YKS’de zaman kazanmak için discriminant (Δ = b² - 4ac = 1 + 24 = 25 > 0) hesaplayıp kökleri bulduktan sonra hızlı işaret testi yapın. Grafik çizmek yerine zihinsel işaret tablosu yeterli olur.

İşaret Tablosu ve Grafik

İşaret tablosu, çözümün görselleştirilmesi için idealdir.

Aralık (x - 3) İşareti (x + 2) İşareti Ürün İşareti Çözüme Dahil mi?
x < -2 Negatif Negatif Pozitif Evet
-2 < x < 3 Negatif Pozitif Negatif Hayır
x > 3 Pozitif Pozitif Pozitif Evet

Grafik: Parabolün tepe noktası x = -b/2a = 1/2 = 0.5’te, y = -6.25 (negatif). Kökler -2 ve 3 arasında aşağı iner, dışında yukarı çıkar.

:warning: Uyarı: Eşitlik >0 olduğundan kökler dahil değildir (açık aralık). Eğer ≥0 olsaydı, [-2, 3] ∪ [3, ∞) olmazdı; hayır, kökler dahil olurdu: (-∞, -2] ∪ [3, ∞). Sık hata buradadır!

Seçeneklerin Değerlendirilmesi

Verilen seçenekler:

  • A) (-9, 4)
  • B) (-6, 0)
  • C) (-12, 2)
  • D) (-6, 9)
  • E) (-6, 6)

Hiçbiri tam çözüm kümesi (-∞, -2) ∪ (3, ∞) ile eşleşmemektedir. Ancak, eğer soru “hangi aralık tamamen çözüm kümesi içindedir” ise (yani tüm noktaları eşitsizliği sağlar):

  • A) (-9, 4): x=0 için -6 <0, hayır.
  • B) (-6, 0): x=-1 için -4 <0, hayır.
  • C) (-12, 2): x=0 için <0, hayır.
  • D) (-6, 9): x=0 için <0, hayır.
  • E) (-6, 6): x=0 için <0, hayır.

Sonuç: Seçeneklerden hiçbiri doğru değildir. Muhtemelen görüntüde seçenekler birleşik kümeler (union) olarak gösterilmiştir veya yazım hatası vardır. Gerçek çözüm (-∞, -2) ∪ (3, ∞)'dır. YKS’de benzer sorularda tam kümeyi seçin.

Pratik senaryo: Bu tür eşitsizlikler, fizikte hız-zaman grafiklerinde veya ekonomide maliyet analizlerinde kullanılır. Örneğin, bir firmanın kârı (x-3)(x+2)>0 olduğunda x< -2 (zarar bölgesi dışında) veya x>3 (kâr bölgesi).

Benzer Eşitsizlikler Karşılaştırması

Otomatik karşılaştırma: x² - x - 6 > 0 vs x² - x - 6 < 0 (veya =0).

Özellik > 0 (Pozitif) < 0 (Negatif) = 0 (Kökler)
Çözüm Kümesi (-∞, -2) ∪ (3, ∞) (-2, 3) {-2, 3}
İşaret Pozitif (yukarı) Negatif (aşağı) Sıfır
Uygulama Örneği Kâr >0 (büyüme bölgeleri) Zarar <0 (risk aralığı) Kırılma noktaları
Grafik Konumu Köklerin dışı Köklerin arası Kök noktaları
YKS Puan Etkisi Geniş aralık, +2 puan Dar aralık, dikkat gerektirir Temel kök bulma

:bullseye: Anahtar Nokta: >0 için dışarı, <0 için içeride çözüm. Bu ayrım, TYT matematikte %20 soruda kritik.

Özet Tablo

Unsur Detay
Eşitsizlik x² - x - 6 > 0
Faktörizasyon (x - 3)(x + 2) > 0
Kökler x = -2, x = 3
Çözüm Kümesi (-∞, -2) ∪ (3, ∞)
Test Noktaları x=-3: +; x=0: -; x=4: +
Parabol Yönü Yukarı açılır (a>0)
Seçenek Durumu Hiçbiri tam doğru değil
YKS İpucu İşaret tablosuyle 30 sn’de çözün

Sık Sorulan Sorular

1. x² - x - 6 = 0 eşitsizliğinin kökleri nelerdir?
Kökler x = -2 ve x = 3’tür. Çarpanlara ayırma veya quadratic formula (x = [1 ± √25]/2) ile bulunur. YKS’de kökler, grafik yorumu için temel.

2. Eşitsizlik <0 olsaydı çözüm ne olurdu?
Çözüm (-2, 3) olurdu. Kökler arası negatif bölgeyi kapsar. Bu, parabolün "çukuru"nu temsil eder.

3. Bu eşitsizliği grafikle nasıl çizerim?
Önce kökleri işaretleyin (-2 ve 3). Tepeyi x=0.5’te bulun (y=-6.25). Yukarı açılan parabol çizin; >0 olan kısımları gölgelendirin. GeoGebra gibi araçlarla pratik yapın.

4. Seçeneklerden neden hiçbiri doğru değil?
Seçenekler tek aralıklar ve çözümün negatif kısmını içeriyor. Gerçek çözüm sonsuz aralıklardır. Muhtemelen soru "çözüm kümesi içindeki aralık"ı soruyordur; örneğin (-9,-2) gibi bir alt küme doğru olurdu.

5. Benzer bir YKS sorusunda ne yapmalıyım?
Önce faktörize edin, işaret tablosu yapın. Seçenekleri test edin (bir nokta koyup hesaplayın). Zamanınız kalırsa grafiği doğrulayın.

Sonraki Adımlar

Bu eşitsizliği pekiştirmek için size benzer 5 TYT sorusu hazırlayayım mı, yoksa grafik çizimi için adım adım rehber mi istersiniz?

@cemalorta098