|AC| = |BD| olduğuna göre, x kaç derecedir?
Üçgende Açı ve Sinüs Teoremi ile Kenar Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Farklı üçgenlerdeki eşit kenarları ortak bir doğru parçası üzerinden birbirine bağlamak için Sinüs Teoremi (\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}) ve sinüs yarım açı özdeşliği (\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha) kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — \triangle ADC Üçgeninde Açıları ve Kenar Oranını Bulma
Şekilde m(\widehat{CAD}) = 30^\circ ve m(\widehat{C}) = 40^\circ olarak verilmiştir. \triangle ADC’nin iç açıları toplamından:
m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ) = 110^\circ \implies m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
\triangle ADC üçgeninde ortak kenar olan |AD| ile |AC| arasındaki oranı Sinüs Teoremi ile yazalım:
\frac{|AC|}{\sin 110^\circ} = \frac{|AD|}{\sin 40^\circ} \implies \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{\cos 20^\circ}{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{1}{2\sin 20^\circ}
Adım 2 — \triangle ABD Üçgeninde Bağıntıyı Kurma ve x Açısını Belirleme
|BD| = |AC| eşitliği verilmiştir. \triangle ABD üçgeninde iç açılar toplamından m(\widehat{BAD}) = 180^\circ - (x + 70^\circ) = 110^\circ - x olur. Bu üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında:
\frac{|BD|}{\sin(110^\circ - x)} = \frac{|AD|}{\sin x} \implies \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x}
İki oranın eşitliğinden:
\frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x} = \frac{1}{2\sin 20^\circ} \implies \sin x = 2\sin 20^\circ \sin(110^\circ - x)
Eşitlikte x = 40^\circ yazıldığında:
2\sin 20^\circ \sin(70^\circ) = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ
özdeşliği doğrudan sağlandığı için x değeri 40^\circ olarak elde edilir.
CEVAP: 40^\circ (x = 40^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: x = 40^\circ olduğunda m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 40^\circ olup büyük üçgen ikizkenar (|AB| = |AC|) çıkar; buradan |AB| = |BD| olacağından \triangle ABD tepe açısı 40^\circ, taban açıları 70^\circ - 70^\circ olan bir ikizkenar üçgen oluşturarak çözümü geometrik olarak da doğrular.