|AC| = |BD| olduğuna göre, x kaç derecedir?
Üçgende Açı ve Sinüs Teoremi ile Uzunluk Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdır (Sinüs Teoremi): \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. Ayrıca yarım açı formülü \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha ve tümler/bütünler açı dönüşümleri kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — \triangle ADC Üçgenindeki Açıları ve |AC| Bağıntısını Bulma
- \triangle ADC üçgeninde iç açılar toplamından:\angle ADC = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ) = 110^\circ
- B, D, C doğrusal olduğundan \triangle ABD üçgeninin iç açısı:\angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
- \triangle ADC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanırsa (\sin 110^\circ = \cos 20^\circ ve \sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ\cos 20^\circ):\frac{|AC|}{\sin 110^\circ} = \frac{|AD|}{\sin 40^\circ} \implies |AC| = |AD| \cdot \frac{\cos 20^\circ}{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ} = \frac{|AD|}{2\sin 20^\circ}
Adım 2 — \triangle ABD Üçgeninde Sinüs Teoremini Kurma
- Soruda |AC| = |BD| olarak verildiğinden:|BD| = \frac{|AD|}{2\sin 20^\circ} \implies \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{1}{2\sin 20^\circ} = \frac{\cos 20^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\sin 70^\circ}{\sin 40^\circ}
- \triangle ABD üçgeninde iç açılar toplamından \angle BAD = 180^\circ - (70^\circ + x) = 110^\circ - x olur. Sinüs Teoremi yazılırsa:\frac{|BD|}{\sin(110^\circ - x)} = \frac{|AD|}{\sin x} \implies \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x}
Adım 3 — Eşitlikten x Değerini Belirleme
- İki orantı birbirine eşitlendiğinde:\frac{\sin(110^\circ - x)}{\sin x} = \frac{\sin 70^\circ}{\sin 40^\circ}
- Bu eşitliği sağlayan tek x \in (0^\circ, 110^\circ) dar açısı x = 40^\circ olur (110^\circ - 40^\circ = 70^\circ).
CEVAP: 40^\circ (x = 40^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Farklı konumlarda verilen eşit uzunluklar (|AC| = |BD|) doğrudan geometrik eşlik kurulamadığında, ortak kenar (AD) üzerinden Sinüs Teoremi yardımıyla trigonometrik oranlanarak son derece hızlı çözülür.