x ın (0, \frac{\pi}{2}) ve 4\sin x = 3os x olduğuna göre, \sin x + os x kaçtır?
A) \frac{3}{4}
B) \frac{3}{5}
C) \frac{4}{5}
D) \frac{7}{5}
E) \frac{8}{5}
Trigonometrik Oranlar ve Toplam Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \sin x = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}, \quad \cos x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanjant Değerini Bulma
Verilen eşitlikte her iki tarafı \cos x ve 4 ile bölerek \tan x oranını elde edelim:
4\sin x = 3\cos x \implies \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{4} \implies \tan x = \frac{3}{4}
Adım 2 — Dik Üçgen Yardımıyla \sin x ve \cos x Değerlerini Hesaplama
x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan açı 1. bölgededir ve tüm trigonometrik değerler pozitiftir. Bir dik üçgen çizelim:
- Karşı dik kenar = 3 birim
- Komşu dik kenar = 4 birim
- Pisagor teoreminden hipotenüs: \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 birim
Bu durumda:
\sin x = \frac{3}{5}
\cos x = \frac{4}{5}
Adım 3 — İstenen Toplamı Hesaplama
Bulduğumuz değerleri yerine yazarak toplayalım:
\sin x + \cos x = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{7}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 3-4-5 Özel Dik Üçgeni: Dik kenarları 3 ve 4 birim olan bir dik üçgende hipotenüs her zaman 5 birimdir.
- 1. Bölgede İşaretler: x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) aralığında tüm trigonometrik fonksiyonlar (\sin, \cos, \tan, \cot) pozitif (+) işaretlidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 4\sin x = 3\cos x eşitliğinden \sin x = 3 ve \cos x = 4 alıp doğrudan toplamak (Trigonometrik oranlar 1’den büyük olamaz: -1 \le \sin x, \cos x \le 1).- Doğru Yaklaşım: Oranı \tan x = \frac{3}{4} olarak bulup dik üçgen yardımıyla hipotenüsü hesaplamak ve gerçek \sin x, \cos x değerlerini bulmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için açının 2. bölgede olduğu benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?