Şekilde A noktasından bisikletiyle hareket eden Erdi;
4 km yol alırsa B noktasına, 12 km yol alırsa C noktasına,
36 km yol alırsa D noktasına, 44 km yol alırsa E
noktasına varacaktır. Bu yolda B ile C ve D ile E arası
toprak yoldur.
x, Erdi’nin hareketi boyunca A noktasından itibaren
aldığı yol olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi
yolun toprak olan kısımlarını gösteren x değer
aralığını ifade eder?
A) 12 \leq |x - 8| \leq 24
C) 8 \leq |x - 16| \leq 24
E) 20 \leq |x - 6| \leq 24
B) 12 \leq |x - 24| \leq 20
D) 12 \leq |x - 20| \leq 24
Erdi’nin Toprak Yolda Geçtiği Mesafeyi Gösteren Eşitsizliğin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
a ve b pozitif reel sayılar (a < b) olmak üzere;
a \leq |x - x_0| \leq b
eşitsizliği iki ayrı aralık üretir:
- a \leq x - x_0 \leq b \implies a + x_0 \leq x \leq b + x_0
- -b \leq x - x_0 \leq -a \implies x_0 - b \leq x \leq x_0 - a
Burada x_0, iki ayrık aralığın simetri merkezidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toprak Yol Aralıklarının Belirlenmesi
Erdi’nin A noktasından itibaren aldığı yol x olduğuna göre:
- B ile C arası (1. Toprak Bölüm): 4\text{ km} \leq x \leq 12\text{ km}
- D ile E arası (2. Toprak Bölüm): 36\text{ km} \leq x \leq 44\text{ km}
Toprak yol kısımlarını veren küme: [4, 12] \cup [36, 44] aralığıdır.
Adım 2 — Simetri Merkezinin (x_0) Hesaplanması
İki aralığın orta noktalarını bulup bu noktaların genel merkezini belirleyelim:
- [4, 12] aralığının orta noktası: \frac{4 + 12}{2} = 8
- [36, 44] aralığının orta noktası: \frac{36 + 44}{2} = 40
- Bu iki orta noktanın simetri merkezi (x_0):
x_0 = \frac{8 + 40}{2} = 24
Adım 3 — Sınır Uzaklıklarının Belirlenmesi
Aralıkların merkeze (24) olan en küçük ve en büyük uzaklıklarını bulalım:
- En küçük uzaklık: 40 - 24 = 16 değil, aralığın iç sınırına bakalım:
- 36 - 24 = 12
- 24 - 12 = 12
- En büyük uzaklık:
- 44 - 24 = 20
- 24 - 4 = 20
Buna göre mutlak değerli eşitsizlik:
12 \leq |x - 24| \leq 20
olarak elde edilir.
Adım 4 — Seçeneklerin Analizi
- A) 12 \leq |x - 8| \leq 24 — İncelendiğinde [-16, -4] \cup [20, 32] aralığını verir, yanlıştır.
- B) 12 \leq |x - 24| \leq 20 — İncelendiğinde:
- Pozitif durum: 12 \leq x - 24 \leq 20 \implies 36 \leq x \leq 44
- Negatif durum: -20 \leq x - 24 \leq -12 \implies 4 \leq x \leq 12
- Bu aralıklar tam olarak B-C ve D-E arasındaki toprak yolları ifade eder.
- C) 8 \leq |x - 16| \leq 24 — İncelendiğinde [-8, 8] \cup [24, 40] aralığını verir, yanlıştır.
- D) 12 \leq |x - 20| \leq 24 — İncelendiğinde [-4, 8] \cup [32, 44] aralığını verir, yanlıştır.
- E) 20 \leq |x - 6| \leq 24 — İncelendiğinde [-18, -14] \cup [26, 30] aralığını verir, yanlıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (12 \leq |x - 24| \leq 20)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değerin Geometrik Anlamı
- Tanım: |x - a| ifadesi, sayı doğrusu üzerinde x noktasının a noktasına olan uzaklığını belirtir.
- Bu problemde: |x - 24| ifadesi, Erdi’nin bulunduğu konumun referans orta noktası olan 24’e uzaklığının 12\text{ km} ile 20\text{ km} arasında olduğunu gösterir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece tek bir aralığın orta noktasını merkez almak
- Yanlış: Yalnızca [4, 12] aralığının orta noktası olan 8’i alıp |x - 8| eşitsizliği kurmak.
- Doğru: Her iki aralığı da aynı anda kapsayan ortak simetri merkezini (24) belirlemek.
- Neden yanlış: Tek bir aralığı merkez almak diğer aralığı simetrik olarak oluşturamaz.
Mutlak değerli eşitsizliklerin grafiksel ve aralık gösterimiyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?