\log_{3} x dot \log_{3} 9x = \log_{3} 4x
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
A) \log_{2} 3
B) \log_{3} 4
C) \frac{1}{3}
D) 1
E) 3 bu çözümde a’nın belli bir değeri var ama en son çözerken x1 ve x2 diye değiştirdik. o nasıl oluyor
Logaritmik Denklemde Kökler Çarpımı ve Değişken Değiştirme Mantığı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Çarpımın Logaritması: \log_b (u \cdot v) = \log_b u + \log_b v
- İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı: A a^2 + B a + C = 0 \implies a_1 + a_2 = -\frac{B}{A}
- Logaritma Tanımı: \log_b m = k \iff m = b^k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Logaritma Özellikleriyle Terimleri Parçalama
Denklemdeki çarpım durumundaki ifadeleri logaritma kuralı ile toplam biçiminde açalım:
- \log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x
- \log_3(4x) = \log_3 4 + \log_3 x
Verilen denklemde yerine yazalım:
\log_3 x \cdot (2 + \log_3 x) = \log_3 4 + \log_3 x
Adım 2 — Değişken Değiştirme Yöntemi
İşlemleri kolaylaştırmak için \log_3 x = a dönüşümü yapalım:
a \cdot (2 + a) = \log_3 4 + a
a^2 + 2a = \log_3 4 + a
a^2 + a - \log_3 4 = 0
Adım 3 — Kökler Toplamını Kullanarak x_1 \cdot x_2’ye Ulaşma
Elde ettiğimiz a^2 + a - \log_3 4 = 0 denklemi a’ya bağlı 2. dereceden bir denklemdir.
- dereceden her denklemin iki kökü (a_1 ve a_2) vardır:
a_1 + a_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{1}{1} = -1
Başlangıçta a = \log_3 x kabul ettiğimiz için, x’e bağlı orijinal denklemin iki kökü olan x_1 ve x_2 değerleri:
- a_1 = \log_3 x_1
- a_2 = \log_3 x_2
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak:
a_1 + a_2 = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 = \log_3 (x_1 \cdot x_2)
Buradan:
\log_3 (x_1 \cdot x_2) = -1
x_1 \cdot x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}
“a Neden x_1 ve x_2 Olarak Ayrıldı?” Mantığı:
- a tek bir sabit sayı değildir: a^2 + a - \log_3 4 = 0 denklemi ikinci dereceden olduğu için a’yı sağlayan iki farklı değer vardır; bunlara a_1 ve a_2 deriz.
- Asıl aranan a değil x’tir: Soruda x değişkenine bağlı denklemin kökleri (x_1 ve x_2) sorulmaktadır.
- Köprü Kurma: Dönüşümümüz a = \log_3 x olduğu için; birinci a değeri birinci x’e (a_1 = \log_3 x_1), ikinci a değeri ise ikinci x’e (a_2 = \log_3 x_2) eşittir.
- Logaritmanın Toplam Özelliği: Logaritmaları topladığımızda içleri çarpıldığı için (\log_3 x_1 + \log_3 x_2 = \log_3(x_1 \cdot x_2)), a’ları tek tek bulup karmaşık köklerle uğraşmak yerine doğrudan a_1 + a_2 kökler toplamı üzerinden x_1 \cdot x_2 çarpımına ulaştık.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Değişken Değiştirme: Karmaşık denklemleri a veya t gibi geçici değişkenlerle 2. derece standart forma getirme yöntemidir.
- Kökler Toplamı - Logaritma İlişkisi: Logaritmik denklemlerde kökler çarpımı sorulduğunda, dönüştürülen 2. derece denklemin kökler toplamı (a_1 + a_2) kullanılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Diskriminant (\Delta) hesaplayıp a_1 ve a_2 değerlerini tek tek bulmaya çalışmak (işlemleri çok uzatır ve köklü/karmaşık logaritmik sayılar çıkarır).- Doğru Yaklaşım: Kökleri tek tek bulmadan doğrudan a_1 + a_2 = \log_3(x_1 \cdot x_2) eşitliğinden yararlanmak.
Bu yöntemi pekiştirmek için benzer bir logaritmik denklem sorusu daha çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber a demeden de yapabilirdik değil mi
Değişken Değiştirmeden (\log_3 x ile) Doğrudan Çözüm Mantığı
Evet, kesinlikle yapılabilir.
\log_3 x = a dönüşümü sadece denklemi gözle daha rahat görebilmek ve yazım kalabalığını azaltmak için yapılan bir kısayoldur. a demeden, doğrudan (\log_3 x) ifadesini denklemin ana değişkeni olarak bırakarak da çözebilirsin.
Değişken Değiştirmeden Adım Adım Çözüm:
Adım 1 — Terimleri Parçalama ve Dağıtma
\log_3 x \cdot (2 + \log_3 x) = \log_3 4 + \log_3 x
Parantezi dağıtalım:
(\log_3 x)^2 + 2(\log_3 x) = \log_3 4 + \log_3 x
Adım 2 — Standart 2. Derece Denklem Formatına Getirme
Tüm terimleri sol tarafa toplayalım:
(\log_3 x)^2 + (\log_3 x) - \log_3 4 = 0
Bu denklem, (\log_3 x) değişkenine göre 2. dereceden bir denklemdir:
A \cdot (\log_3 x)^2 + B \cdot (\log_3 x) + C = 0
Burada:
- A = 1
- B = 1
- C = -\log_3 4
Adım 3 — Kökler Toplamı Kuralını Uygulama
Denklemin x kökleri x_1 ve x_2 olduğuna göre; denklemi sağlayan kökler \log_3 x_1 ve \log_3 x_2 olur.
- derece denklemlerde kökler toplamı -\frac{B}{A} olduğundan:
\log_3 x_1 + \log_3 x_2 = -\frac{1}{1} = -1
Logaritmanın toplam kuralını uygularsak:
\log_3 (x_1 \cdot x_2) = -1
x_1 \cdot x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}
Neden Çoğunlukla “a” Harfi Kullanılır?
- İşlem Kolaylığı: (\log_3 x)^2 yazarken parantezleri unutup yanlışlıkla \log_3(x^2) (yani 2\log_3 x) ile karıştırma riskini sıfıra indirir.
- Görsel Netlik: a^2 + a - k = 0 formatı, 2. derece denklem kurallarını (-\frac{b}{a}, \frac{c}{a}, \Delta) zihinde doğrudan çağrıştırmayı kolaylaştırır.
Bu iki yöntem de matematiksel olarak tamamen aynıdır; hangisi sana daha pratik geliyorsa sınavda onu kullanabilirsin.
Bu logaritma-polinom ilişkisini farklı bir soru tipiyle pekiştirmek ister misin?