$x \cdot 9!$ çarpımını tam kare yapan en küçük $x$ doğal sayısını bulma

YKS TYT Forum
1
  1. x.9! çarpimı bir pozitif tam sayinın karesi olduğuna
    göre, x’in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır?
    A) 0
    B) 2
    C) 10
    D) 14
    E) 70

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 82.2 KB

2

x \cdot 9! çarpımını tam kare yapan en küçük x doğal sayısını bulma

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bir sayının tam kare olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının üslerinin çift sayı olması gerekir. x \cdot 9! = k^2 (burada k bir pozitif tam sayıdır).

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — 9! ifadesini asal çarpanlarına ayırma
9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ifadesindeki her sayıyı asal çarpanları cinsinden yazalım:

  • 9 = 3^2
  • 8 = 2^3
  • 7 = 7^1
  • 6 = 2 \cdot 3
  • 5 = 5^1
  • 4 = 2^2
  • 3 = 3^1
  • 2 = 2^1

Şimdi tüm asal çarpanları toplayalım:

  • 2’lerin sayısı: 3 (8'den) + 1 (6'dan) + 2 (4'ten) + 1 (2'den) = 2^7
  • 3’lerin sayısı: 2 (9'dan) + 1 (6'dan) + 1 (3'ten) = 3^4
  • 5’lerin sayısı: 5^1
  • 7’lerin sayısı: 7^1

Sonuç olarak: 9! = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1

Adım 2 — Tam kare olması için gereken eksik çarpanları belirleme
İfademiz: x \cdot (2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1) = k^2
Üslerin çift olması gerektiğini biliyoruz:

  • 2^7 ifadesini tam kare yapmak için en az bir tane daha 2 çarpanı gerekir (2^7 \cdot 2^1 = 2^8).
  • 3^4 zaten tam karedir (üssü çifttir), ek çarpan gerekmez.
  • 5^1 ifadesini tam kare yapmak için bir tane 5 çarpanı gerekir (5^1 \cdot 5^1 = 5^2).
  • 7^1 ifadesini tam kare yapmak için bir tane 7 çarpanı gerekir (7^1 \cdot 7^1 = 7^2).

Adım 3 — x değerini hesaplama
x sayısı, üssü tek olan asal sayıların çarpımı olmalıdır:
x = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1
x = 2 \cdot 5 \cdot 7
x = 70

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 70 (E Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Tam Kare Sayı

  • [Tanım:] Bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayılardır.
  • [Bu problemde:] Çarpımın sonucunun bir tam kare olması için içindeki tüm asal çarpanların adetleri çift olmalıdır.

2. Faktöriyel Analizi

  • [Tanım:] n! ifadesi 1’den n’e kadar olan sayıların çarpımıdır.
  • [Bu problemde:] 9! içindeki asal çarpanları bulmak için sayıları parçalara ayırdık.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: x=0 seçmek

  • [Yanlış:] x=0 verilirse sonuç 0 olur ve 0 bir sayının karesidir.
  • [Doğru:] Soru kökünde sonucun bir pozitif tam sayının karesi olduğu belirtilmiştir. 0 pozitif değildir, bu yüzden x=0 olamaz.

:cross_mark: Üsleri Tek Olanları Atlamak

  • [Yanlış:] Sadece 5 ve 7 çarpanlarını alıp x=35 demek.
  • [Doğru:] 2^7 ifadesindeki 7 sayısı tek olduğu için mutlaka bir tane daha 2 çarpanı eklenmelidir.

Bu çözümde takıldığın veya 10! gibi farklı bir faktöriyel değeri için nasıl yapıldığını merak ettiğin bir nokta var mı?