x bir gerçek sayı olmak üzere
|2x - 3| + |5x - 6|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) \frac{3}{5}
B) 1
C) \frac{3}{2}
D) 2
E) 3
Mutlak Değerli İfadelerin Toplamında En Küçük Değer Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Parçalı doğrusal ve dışbükey (konveks) olan f(x) = |ax - b| + |cx - d| biçimindeki mutlak değerli ifadelerin toplamının en küçük değeri, mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalardan (köklerden) birinde elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kritik Noktaların (Köklerin) Belirlenmesi
İfadedeki mutlak değerlerin içini sıfıra eşitleyerek kritik x değerlerini buluruz:
2x - 3 = 0 \implies x_1 = \frac{3}{2}
5x - 6 = 0 \implies x_2 = \frac{6}{5}
Adım 2 — Bulunan Kritik Değerlerin Fonksiyonda Denenmesi
- x = \frac{3}{2} için:
f\left(\frac{3}{2}\right) = \left|2\left(\frac{3}{2}\right) - 3\right| + \left|5\left(\frac{3}{2}\right) - 6\right| = |0| + \left|\frac{15}{2} - 6\right| = \frac{3}{2}
- x = \frac{6}{5} için:
f\left(\frac{6}{5}\right) = \left|2\left(\frac{6}{5}\right) - 3\right| + \left|5\left(\frac{6}{5}\right) - 6\right| = \left|\frac{12}{5} - 3\right| + |0| = \left|-\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}
Adım 3 — Değerlerin Karşılaştırılması
Elde edilen sonuçlar karşılaştırıldığında \frac{3}{5} < \frac{3}{2} olduğundan, ifadenin alabileceği en küçük değer \frac{3}{5} olur.
CEVAP: A) \frac{3}{5} (f_{\min} = \frac{3}{5})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tip sorularda katsayılar eşit olmadığında (|x-a| + |x-b| biçiminde değilse) kökler arasındaki bir aralık değil, katsayısı büyük olan terimi sıfırlayan kök eğimi daha sert değiştirdiği için genellikle minimumu verir; ancak hata yapmamak adına her iki kritik kökü de yerine yazıp çıkan sonuçları karşılaştırmak en güvenli yoldur.