X bir dar açı olmak üzere, | 1793123400755

Question Answer
1

x bir dar açı olmak üzere,
\frac{1 + ot x}{\tan x} dot \frac{\sin x - os x}{os x} = -2
olduğuna göre, ot x kaçtır?

x bir dar açı olmak üzere, (1 + ot x)/(tan x) dot (sin x - os x)/(os x) = -2 olduğuna...
x bir dar açı olmak üzere, (1 + ot x)/(tan x) dot (sin x - os x)/(os x) = -2 olduğuna...1024×768 54.7 KB

2

Trigonometrik Denklem Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
  • \cot x = \frac{1}{\tan x}
  • İki kare farkı: (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1
  • Dar açılarda (0^\circ < x < 90^\circ) tüm trigonometrik oranlar pozitiftir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İkinci kesri sadeleştirme
İkinci rasyonel ifadeyi paydalarına ayırarak teğet (\tan x) cinsinden yazalım:

\frac{\sin x - \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = \tan x - 1

Adım 2 — Birinci kesri düzenleme ve ifadeyi tek bir değişkene bağlama
\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliğini kullanalım ve kolaylık olması açısından \tan x = t diyelim:

1 + \cot x = 1 + \frac{1}{t} = \frac{t + 1}{t}

Bu durumda birinci kesir:

\frac{1 + \cot x}{\tan x} = \frac{\frac{t + 1}{t}}{t} = \frac{t + 1}{t^2}

Adım 3 — Denklemi kurup çözme
Bulduğumuz iki ifadeyi denklemde yerine yazıp çarpalım:

\frac{t + 1}{t^2} \cdot (t - 1) = -2

Pay kısmındaki iki kare farkını uygulayalım:

\frac{t^2 - 1}{t^2} = -2

İçler dışlar çarpımı yapalım:

t^2 - 1 = -2t^2
3t^2 = 1 \implies t^2 = \frac{1}{3}

Adım 4 — \cot x değerini bulma
t = \tan x olduğuna göre:

\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x} = \frac{1}{t^2} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3

x bir dar açı olduğu için trigonometrik değerler pozitif olmak zorundadır (\cot x > 0):

\cot x = \sqrt{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \sqrt{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dar Açı: Ölçüsü 0^\circ ile 90^\circ (I. bölge) arasında olan açılardır. Bu bölgede \sin x, \cos x, \tan x ve \cot x değerlerinin tamamı pozitiftir.
  • Tanjant ve Kotanjant İlişkisi: Birbirinin çarpmaya göre tersidir; \tan x \cdot \cot x = 1’dir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: \cot^2 x = 3 eşitliğinden sonra bölgeye dikkat etmeyip \cot x = -\sqrt{3} değerini de çözüme dahil etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Sorunun başında verilen “x bir dar açı” şartını dikkate alarak sadece pozitif olan \cot x = \sqrt{3} kökünü almak.

Trigonometrik özdeşlikler ve sadeleştirmelerle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?