X² - 8x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ 'dir. Buna göre, ( x₁ + x₂ )² ifadesinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

x^2 - 8x + 1 = 0 denkleminin kökleri x_{1} ve x_{2}'dir.
Buna göre,
(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})^2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) \sqrt{6}
C) \sqrt{3}
D) \sqrt{10}
E) 2\sqrt{2}

x² - 8x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ 'dir.
x² - 8x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ 'dir.809×800 95.9 KB

2

İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler ve Katsayılar İlişkisi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
ax^2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi için:

  • Kökler Toplamı: x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
  • Kökler Çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
  • Tam Kare Özdeşliği: (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kökler Toplamı ve Çarpımını Belirleme
Verilen x^2 - 8x + 1 = 0 denkleminde a = 1, b = -8 ve c = 1’dir. Kök-katsayı bağıntılarını uygulayalım:

x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8
x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{1} = 1

Adım 2 — İstenen İfadenin Karesini Alma
Bizden istenen ifadeye A diyelim:

A = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}

İfadenin değerini bulabilmek için her iki tarafın karesini alıp tam kare açılımı yapalım:

A^2 = (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2
A^2 = (\sqrt{x_1})^2 + 2\sqrt{x_1}\cdot\sqrt{x_2} + (\sqrt{x_2})^2
A^2 = (x_1 + x_2) + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2}

Adım 3 — Değerleri Yerine Koyma ve Sonucu Bulma

  1. Adımda bulduğumuz x_1 + x_2 = 8 ve x_1 \cdot x_2 = 1 değerlerini yerine yazalım:
A^2 = 8 + 2\sqrt{1}
A^2 = 8 + 2 = 10

Köklerin karekökleri pozitif reel sayı olduğundan A > 0’dır:

A = \sqrt{10}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D Seçeneği — \sqrt{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Vieta Teoremi (Kök-Katsayı Bağıntıları): Kökleri tek tek (x_1, x_2) diskriminant ile bulmak yerine, köklerin toplamını (-\frac{b}{a}) ve çarpımını (\frac{c}{a}) doğrudan katsayılardan elde etmeyi sağlar.
  • Cebirsel Özdeşlikler: Köklü toplamları içeren sorularda ifadenin karesi alınarak bilinen kökler toplamı ve çarpımı biçimine dönüştürülür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{x_1 + x_2} = \sqrt{8} şeklinde kökleri tek bir kök içerisinde toplamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Köklü ifadeler doğrudan toplanamaz. İfadeye bir değişken (A) atanıp karesi alınmalı ve açılımdaki (x_1 + x_2) ile (x_1 \cdot x_2) terimleri kullanılmalıdır.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?