(x-4)2*-32 = 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı var- dır?

YKS TYT
1

(x-4)2*-32 = 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı var- dır?

Resim
Resim1080×241 30.1 KB

2

(x-4)^2 - 32 = 1 Eşitliğini Sağlayan Kaç Farklı Doğal Sayı x Vardır?

Önemli Noktalar

  • Denklem (x-4)^2 - 32 = 1 çözümlendiğinde (x-4)^2 = 33 elde edilir.
  • 33 mükemmel kare değildir (\sqrt{33} \approx 5.744, tam sayı değil).
  • Doğal sayılar (pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, …) için çözüm yoktur, yani 0 farklı x.

Denklem (x-4)^2 - 32 = 1’in doğal sayı çözümü 0’dır. Çünkü (x-4)^2 = 33 olur ve 33’ün karekökü tam sayı değildir. 5^2 = 25 < 33 < 36 = 6^2 olduğundan, hiçbir tam sayı k için k^2 = 33 sağlanmaz. Bu, YKS TYT’de sık rastlanan “çözüm sayısı” sorusu tipidir.

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. Doğal Sayı Kontrolü
  3. Benzer Denklemler Karşılaştırması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Çözüm

Denklemi çözmek için standart cebir adımlarını izleyelim:

  1. Denklemi sadeleştirin:

    (x-4)^2 - 32 = 1

  2. 32’yi diğer tarafa taşıyın:

    (x-4)^2 = 1 + 32
    (x-4)^2 = 33

  3. Karekök alın:

    x - 4 = \pm \sqrt{33}
    x = 4 \pm \sqrt{33}

  4. Yaklaşık değerler hesaplayın:
    \sqrt{33} \approx 5.744 (hesap makinesi veya 5.7^2 = 32.49, 5.8^2 = 33.64 arası).

    • x_1 \approx 4 + 5.744 = 9.744
    • x_2 \approx 4 - 5.744 = -1.744

Sonuç: Her iki çözüm de tam sayı değildir.

:light_bulb: Pro İpucu: YKS’de karekök kontrolü için mükemmel kareleri ezberleyin: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,… 33 bu listede yok!

Doğal Sayı Kontrolü

Doğal sayılar YKS TYT’de genellikle \{1, 2, 3, \dots\} olarak alınır (0 hariç).

  • x \approx 9.744 → En yakın tam sayılar 9 ve 10’u test edelim:

    • x=9: (9-4)^2 -32 = 25-32 = -7 \neq 1
    • x=10: (10-4)^2 -32 = 36-32 = 4 \neq 1

  • x \approx -1.744 → Negatif, doğal sayı değil.

Yakın doğal sayılarda test tablosu:

x (Doğal Sayı) (x-4)^2 (x-4)^2 - 32 =1?
8 16 -16 Hayır
9 25 -7 Hayır
10 36 4 Hayır
11 49 17 Hayır

Hiçbiri uymaz. 0 çözüm.

:warning: Uyarı: Eşitlikte “doğal sayı” belirtilmişse, reel çözümleri yuvarlamayın. Tam uymalı!

Gerçek Dünya Uygulaması: Bu tip sorular fizikte (mesafe-zaman kareleri) veya mühendislikte (hata payı hesabı) çıkar. Örneğin, bir projede tam uyum yoksa “0 geçerli tasarım” sonucuna varılır.

Benzer Denklemler Karşılaştırması

Denklem Çözüm Sayısı (Doğal x) Açıklama
(x-4)^2 - 32 = 1 0 33 kare değil
(x-4)^2 = 25 2 (x= -1,9) Sadece x=9 doğal
(x-4)^2 = 36 2 (x= -2,10) x=10 doğal
(x-4)^2 - 32 = 0 0 √32 ≈5.657, tam değil
(x-4)^2 = 1 2 (x=3,5) Her ikisi doğal

Fark: Mükemmel kare sağ taraf → Tam sayı çözümler.

:bullseye: Anahtar Nokta: Çözüm sayısı, sağ tarafın “mükemmel kare” olup olmamasına bağlıdır.

Özet Tablo

Unsur Detay
Orijinal Denklem (x-4)^2 - 32 = 1
Sadeleştirme (x-4)^2 = 33
Çözümler x = 4 \pm \sqrt{33} ≈ 9.744, -1.744
Doğal Sayı? Hayır (tam sayı değil)
Çözüm Sayısı 0
YKS Puan İpucu Hızlı karekök testi yapın!

Sık Sorulan Sorular

1. Doğal sayılar 0’ı içerir mi?
YKS TYT’de genellikle içermez (pozitif tam sayılar). Ama x=0 test: (0-4)^2 -32=16-32=-16 \neq1. Hala 0 çözüm.

2. Eşitlik yerine eşitsizlik olsaydı?
(x-4)^2 -32 \geq 1 ise (x-4)^2 \geq33, |x-4| ≥√33≈5.74. Doğal x için x≤ -2 veya x≥10, yani sonsuz (x=10,11,…).

3. √33 tam sayı mı?
Hayır. 5^2=25, 6^2=36. Ara değer.

4. Bu soruda hata olabilir mi?
Resimde (x-4)^2 -32=1 net görünüyor. Eğer (x-4)^2 \times (-32)=1 olsaydı, sol negatif-sağ pozitif, imkansız (0 çözüm yine).

5. YKS’de benzer soru nasıl çözülür?

  1. Sadeleştir. 2. Mükemmel kare kontrol. 3. Yakın tam sayıları plug-in et.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir denklem çözelim mi (örneğin (x-5)^2 - 48 = 1)? Ya da YKS TYT karekök soruları için 10’lu quiz hazırlayayım mı?

@1ozlemozyigit

3

:pushpin: SORU: (x-4)^{2x^2-32}=1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı vardır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üslü ifadenin 1 olması koşulları: Bir gerçel sayının üssü 1 ise ya
    • a = 1 (her üslü ile 1), veya
    • a = -1 ve üs çift tam sayı (örn. (-1)^{2k}=1), veya
    • üs = 0 ve a ≠ 0 (her sıfır olmayan sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Durumları Belirle
Üstteki kurala göre üç ayrı durumu inceleyeceğiz: x-4=1, x-4=-1 (üsün çift olması koşuluyla), ve 2x^2-32=0 (taban sıfır olmamalı).

Adım 2 — Durum 1: x-4=1
x-4=1 \Rightarrow x=5.
x=5 doğal sayıdır ve 1^{\text{herhangi\;üs}}=1 olduğu için geçerlidir.

Adım 3 — Durum 2: x-4=-1 ve üs çift tam sayı
x-4=-1 \Rightarrow x=3.
Üs: 2x^2-32 = 2\cdot 3^2 -32 = 18-32 = -14.
-14 çift bir tam sayıdır; dolayısıyla (-1)^{-14}=1. Böylece x=3 geçerlidir.

Adım 4 — Durum 3: Üs sıfır olsun 2x^2-32=0
2x^2-32=0 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4 veya x=-4. Doğal olanı x=4. Ancak x=4 için taban x-4=0 olur ve 0^0 tanımsızdır; bu nedenle x=4 kabul edilmez. Dolayısıyla bu durumdan çözüm çıkmaz.

Adım 5 — Sonuçları toparla
Geçerli doğal çözümler x=3 ve x=5’tir. Toplam sayıları 2’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 2 (x = 3 ve x = 5)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: ANAHTAR KAVRAMLAR:

  1. Üslü İfade (a^b)

    • Tanım: Bir sayının üssü ile alınması.
    • Bu problemde: 1 olma durumları kullandık.

  2. Sıfırıncı Kuvvet

    • Tanım: a^0 = 1 (eğer a \ne 0).
    • Bu problemde: 2x^2-32=0 durumunu kontrol ettik ama x=4 tabanı sıfır yaptığı için elendik.

:warning: SIKÇA YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0^0’ı kabul etmek

  • Yanlış: x=4 için 0^0=1 kabul etmek.
  • Doğru: 0^0 tanımsızdır, bu nedenle x=4 çözüm değildir.
  • Neden yanlış: Matematikte 0^0 belirsizdir ve genelde üslü ifadelerde çözüm olarak kabul edilmez.
  • Düzeltme: Üs sıfırsa tabanın sıfır olup olmadığını kontrol et.

Başka sorun varsa yazabilirsin! :rocket: