X² – 3x – 28 = 0 denkleminin kökleri a ve b’dir. Buna göre, a² + b² toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 21.7 KB

2

Resimdeki Denklemin Kökleri ve a² + b² Toplamı Nedir?

Önemli Noktalar

  • Verilen denklemin kökleri a ve b ise, köklerin toplamı ve çarpımı -b/a ve c/a şeklindedir.
  • Kökler toplamı: a + b = 3 (denklemdeki -3x’nin katsayısından kökleri buluruz)
  • Kökler çarpımı: ab = -28
  • a^2 + b^2 ifadesi, (a+b)^2 - 2ab formülüyle bulunur

Denklem x^2 - 3x - 28 = 0’nin kökleri a ve b olduğuna göre,

a + b = 3
ab = -28

a^2 + b^2’yi hesaplamak için:

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2 \times (-28) = 9 + 56 = 65

Cevap A) 65 olur.

İçindekiler

  1. Denklemin Köklerinin Özellikleri
  2. a² + b² Hesaplama Yöntemi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Kök Toplamı ve Çarpımı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklem Köklerinin Özellikleri

Bir ikinci dereceden denklemde,
ax^2 + bx + c = 0
denklemindeki köklerin;

  • Toplamı -(b/a)
  • Çarpımı (c/a)
    şeklindedir.

Bu özellikler Viète Teoremi olarak adlandırılır ve kökler üzerinde hızlı hesaplamalar yapmayı sağlar.

:light_bulb: Pro Tip: Köklerin toplamı ve çarpımı bulunduktan sonra birçok işlem daha hızlı ve az hata ile yapılır.

a² + b² Hesaplama Yöntemi

[ a^2 + b^2 ] ifadesi doğrudan hesaplanması zor olabilir. Ancak şunu kullanarak basitçe bulunabilir:

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab

Böylece önce a+b ve ab hesaplanıp formüle uygulanır.

Uygulama:

a + b = 3, \quad ab = -28
a^2 + b^2 = 3^2 - 2(-28) = 9 + 56 = 65

Karşılaştırma Tablosu: Kök Toplamı ve Çarpımı

Kavram Tanım Hesaplama Formülü
Köklerin Toplamı Denklemin köklerinin toplamı -\frac{b}{a}
Köklerin Çarpımı Denklemin köklerinin çarpımı \frac{c}{a}
a² + b² Köklerin karesinin toplamı (a+b)^2 - 2ab

Özet Tablo

Adım Sonuç
Köklerin Toplamı (a+b) 3
Köklerin Çarpımı (ab) -28
a² + b² Hesabı 65
Doğru Cevap A) 65

Sık Sorulan Sorular

1. Köklerin toplamı neden -b/a olur?
İkinci dereceden denklemin standart formunda katsayılara göre Viète Teoremi bunu garantiler. Denklemin açılımında kökler bağlıdır.

2. a² + b² ifadesini neden (a+b)^2 - 2ab ile buluyoruz?
Matematiksel özdeşlik sayesinde doğrudan karelerin toplamını hesaplamaktansa toplamın karesi ve çift kat çarpımı kullanılır, bu yöntem daha pratiktir.

3. Bu yöntem her ikinci derece denklem için geçerli midir?
Evet, katsayıların gerçek ya da karmaşık olması fark etmez.

Sonraki Adımlar

Başka denklemlerde köklerle ilgili işlemleri nasıl yapacağınızı öğrenmek ister misiniz? Özellikle köklerin farklı fonksiyonlara uygulanması (örneğin, a^3 + b^3 gibi) hakkında detaylı açıklama yapabilirim.

@Tugce_Soylu

3

x² – 3x – 28 = 0 denkleminin kökleri a ve b’dir. Buna göre, a² + b² toplamı kaçtır?

Temel Bilgiler

  • İkinci dereceden denklemin kökleri için a + b = -\dfrac{b}{a} ve ab = \dfrac{c}{a}.
  • Bu denklemde a + b = -\dfrac{-3}{1} = 3 ve ab = \dfrac{-28}{1} = -28.
  • Köklerin kareleri toplamı a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab formülüyle bulunur.

Doğrudan Cevap
a^2 + b^2 = 65

İşaretli seçenekler arasında A) 65 doğru cevap.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Denklemi ax^2 + bx + c = 0 formuna alırsak a=1,\;b=-3,\;c=-28.
  2. Köklerin toplamı ve çarpımı:
    a + b = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3,\quad ab = \frac{c}{a} = -28.
  3. Köklerin kareleri toplamı:
    a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2(-28) = 9 + 56 = 65.

Özet Tablosu

Özellik Değer
a + b 3
ab –28
a^2 + b^2 65

SSS

S1. Köklerin toplamı formülü neden -\tfrac{b}{a}?
Çünkü ax^2 + bx + c=0 denkleminde katsayılardan türeyen Vieta formüllerine göredir.

S2. Köklerin kareleri toplamını bulmak için formülün mantığı nedir?
a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab kimyasal kare açılımı mantığıyla elde edilir.

S3. Ürün negatif olduğunda kökler nasıldır?
Negatif ürün, köklerin işaretlerinin zıt olduğunu gösterir (biri pozitif, diğeri negatif).

Bu çözüm adımlarını takip ederek benzer denklemleri de kolayca çözebilirsiniz. Başka örnek sorularla pratik yapmak ister misiniz?
@Tugce_Soylu