X 3 + y 3 = rac 9 2 xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun

[Ruya_Erbil (Rüya Erbil)]

Soru:

x^3 + y^3 = rac{9}{2} xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun. a) rac{dy}{dx} i bulunuz. b) (1, 2) noktasının bu eğri üzerinde olduğunu doğrulayınız. c) (1, 2) noktasındaki teğetin denklemini bulunuz.

x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Zincir kuralı ile türev alma
• Teğetin denklemi: y - y_0 = m (x - x_0) , burada m = \frac{dy}{dx} teğetin eğimi

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \frac{dy}{dx} türevini bulma

Verilen denklem:

x^3 + y^3 = \frac{9}{2} xy

Her iki tarafı x’e göre türevleyelim. y değişkeni x’e bağlı olduğu için y’nin türevini bulurken zincir kuralı kullanırız.

3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right)

Sağ tarafı açalım:

3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y + \frac{9}{2} x \frac{dy}{dx}

Şimdi türevdeki \frac{dy}{dx} terimlerini bir tarafta toplayalım:

3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{9}{2} x \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y - 3x^2

\left(3y^2 - \frac{9}{2} x\right) \frac{dy}{dx} = \frac{9}{2} y - 3x^2

Son olarak, \frac{dy}{dx}'yi yalnız bırakalım:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2} x}

---

Adım 2 — (1, 2) noktasının eğri üzerinde olup olmadığını doğrulama

Denklem:

x^3 + y^3 \stackrel{?}{=} \frac{9}{2} xy

x=1, y=2 için:

1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9

\frac{9}{2} \times 1 \times 2 = 9

Her iki taraf eşittir, dolayısıyla (1, 2) noktası eğri üzerindedir.

---

Adım 3 — (1, 2) noktasındaki teğetin denklemini bulma

Önce \frac{dy}{dx}'yi (1, 2) noktasında hesaplayalım:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} \times 2 - 3 \times 1^2}{3 \times 2^2 - \frac{9}{2} \times 1} = \frac{9 - 3}{12 - 4.5} = \frac{6}{7.5} = \frac{6}{7.5} = \frac{4}{5}

Teğetin eğimi m = \frac{4}{5}.

Teğet denklemi:

y - y_0 = m (x - x_0)

y - 2 = \frac{4}{5} (x - 1)

Düzeltirsek:

y = \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} + 2 = \frac{4}{5} x + \frac{6}{5}

---

CEVAP:

a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2} y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2} x}
b) (1, 2) noktası eğri üzerindedir.
c) (1, 2) noktasındaki teğetin denklemi:

y = \frac{4}{5} x + \frac{6}{5}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sorumatik_GPT-5]

x^3 + y^3 = \frac{9}{2}xy ile tanımlanan eğriyi göz önünde bulundurun

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Zincir kuralı ve çarpım kuralı kullanılarak örtük türev alınır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Her iki tarafı x’e göre türevleyin
Eşitliğin her iki tarafını x’e göre türevleyin.

Birinci terim:

x^3

= $$3x^2$$

İkinci terim:

y^3

= $$3y^2 \frac{dy}{dx}$$

Sağ taraf (çarpım kuralı):

\frac{9}{2}xy

= $$\frac{9}{2}\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)$$

Elde edilen türev eşitliği:

3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)

Adım 2 — \frac{dy}{dx} için çözümlenmesi
\frac{dy}{dx} içeren terimleri bir tarafta toplayın ve diğer terimleri öteki tarafa alın.

\frac{dy}{dx} terimlerini sola toplayın:

3y^2\frac{dy}{dx} - \frac{9}{2}x\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}y - 3x^2

Ortak çarpan olarak \frac{dy}{dx} alın:

\frac{dy}{dx}\big(3y^2 - \frac{9}{2}x\big) = \frac{9}{2}y - 3x^2

Her iki tarafı \big(3y^2 - \frac{9}{2}x\big) ile bölün:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{9}{2}y - 3x^2}{3y^2 - \frac{9}{2}x}

Ortak 3 ile sadeleştirme yapabilirsiniz:

Sayacı 3 ile çıkarın:

\frac{9}{2}y - 3x^2 = 3\big(\frac{3}{2}y - x^2\big)

Paydayı 3 ile çıkarın:

3y^2 - \frac{9}{2}x = 3\big(y^2 - \frac{3}{2}x\big)

Sadeleştirme sonrası:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{3}{2}y - x^2}{y^2 - \frac{3}{2}x}

Adım 3 — (1,2) noktasının eğri üzerinde olduğunu doğrulayın
Verilen noktanın orijinal denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Sol taraf:

x^3 + y^3

= $$1^3 + 2^3$$

= $$1 + 8$$

= $$9$$

Sağ taraf:

\frac{9}{2}xy

= $$\frac{9}{2}\cdot 1 \cdot 2$$

= $$\frac{9}{2}\cdot 2$$

= $$9$$

Sol taraf = Sağ taraf olduğundan (1,2) eğri üzerindedir.

Adım 4 — (1,2) noktasındaki teğetin eğimini bulun
\frac{dy}{dx} formülüne x=1,\; y=2 değerlerini yerine koyun.

Sayacı hesaplayın:

\frac{3}{2}y - x^2

= $$\frac{3}{2}\cdot 2 - 1^2$$

= $$3 - 1$$

= $$2$$

Paydayı hesaplayın:

y^2 - \frac{3}{2}x

= $$2^2 - \frac{3}{2}\cdot 1$$

= $$4 - \frac{3}{2}$$

= $$\frac{8}{2} - \frac{3}{2}$$

= $$\frac{5}{2}$$

Eğim:

m = \frac{dy}{dx}\Big|_{(1,2)}

= $$\frac{2}{\tfrac{5}{2}}$$

= $$2\cdot \frac{2}{5}$$

= $$\frac{4}{5}$$

Adım 5 — Teğetin denklemi
Nokta-eğri formülü: y-y_0 = m(x-x_0)

Uygulayalım:

y-2 = \frac{4}{5}(x-1)

Dağıtıp düzenleyin:

y-2 = \frac{4}{5}x - \frac{4}{5}

y = \frac{4}{5}x - \frac{4}{5} + 2

y = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

1. Örtük türev (Implicit differentiation)

• Tanım: Denklemin y değişkeni açıkça yazılmamışsa, y’yi bulmak için y’yi içeren terimlerin türevini alırken zincir kuralı kullanılır.
• Bu problemde: y^3 türevi alınırken 3y^2\frac{dy}{dx} elde edildi.

2. Çarpım kuralı (Product rule)

• Tanım: (uv)' = u'v + uv'.
• Bu problemde: \frac{9}{2}xy teriminin türevi \frac{9}{2}(x\frac{dy}{dx}+y) oldu.

SIK YAPILAN HATALAR:

Zincir kuralını unutmamak

• Yanlış: y^3 türevini 3y^2 yerine 3y^2 dy/dx yazmamak.
• Doğru: y^3’ün türevi 3y^2\frac{dy}{dx}'dir.
• Neden yanlış: y bağımlı bir fonksiyon olduğu için türev alırken dy/dx çarpanını eklemelisiniz.
• Düzeltme: Her y içeren terimin türevinde \frac{dy}{dx} ekleyin.

Sadeleştirme hataları

• Yanlış: Pay ve paydayı yanlış sadeleştirmek.
• Doğru: Ortak çarpanı doğru çıkarıp sadeleştirin (ör. 3 ile).
• Neden yanlış: Kesirli katsayılar yanlış taşınırsa hata olur.
• Düzeltme: Kesirleri ortak paydalara çevirip adım adım sadeleştirin.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:

• \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\tfrac{3}{2}y - x^2}{y^2 - \tfrac{3}{2}x}
• (1,2) noktası eğri üzerindedir (1^3+2^3 = 9 ve \tfrac{9}{2}\cdot1\cdot2 = 9).
• (1,2) noktasındaki teğetin denklemi: \displaystyle y = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?