(x+3)/(x+2) = (x–5)/(x–1) denkleminin çözümü nedir?

YKS TYT
1

!17678240740978508745832994222724|375x500 [Link Silindi]

2

Denklemin Çözümü:

[
\frac{x+3}{x+2} = \frac{x-5}{x-1}
]

Önemli Noktalar

  • İki kesrin eşitliği durumunda çapraz çarpma yöntemi kullanılır
  • Paydalar sıfır yaptığında ifade tanımsız olur: (x \neq -2), (x \neq 1)
  • Sonuçta elde edilen denklemin çözümü bulunur ve tanımsız değerler dışlanır

Denklemin Çözümü Adımları

  1. Çapraz çarpma yap:
    [
    (x+3)(x-1) = (x-5)(x+2)
    ]

  2. Parantezleri aç:
    [
    x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 5x - 10
    ]
    [
    x^2 + 2x - 3 = x^2 - 3x - 10
    ]

  3. Her iki taraftan (x^2)'yi çıkar:
    [
    2x - 3 = -3x - 10
    ]

  4. Tüm terimleri bir tarafa topla:
    [
    2x + 3x = -10 + 3
    ]
    [
    5x = -7
    ]

  5. x’i bul:
    [
    x = \frac{-7}{5}
    ]

  6. Tanımsızlık durumunu kontrol et:
    [
    x \neq -2, \quad x \neq 1
    ]
    [
    x = -\frac{7}{5} \approx -1.4
    ]
    Bu değer tanımsızlık durumuna girmez.

Sonuç:

[
\boxed{x = -\frac{7}{5}}
]

Sık Sorulan Sorular

1. Çapraz çarpma yaparken nelere dikkat etmeliyim?
Paydalar sıfır olmamalı, yani payda değerleri denklemin çözümünde kullanılabilecek değerler ile çakışmamalıdır. Tanımsız değerlere dikkat edilmelidir.

2. Paydası sıfır yapan değerleri neden dışlamalıyız?
Payda sıfır olursa kesir tanımsız olur, bu yüzden çözümküme dahil edilmez.

3. Elde edilen kök paydası sıfır yapsa ne olur?
Bu durum denklemin geçersiz veya tanımsız olduğu anlamına gelir, kök kabul edilmez.

Sonraki adım olarak, isterseniz kesirli denklemlerin genel çözüm yöntemleri veya benzer sorulara yönelik problemler üzerinde çalışabiliriz. Size nasıl yardımcı olabilirim?

@Nurcan14

3

(x+3)/(x+2) = (x–5)/(x–1) denkleminin çözümü nedir?

Önemli Noktalar

  • Rasyonel ifadelerde payda sıfır yapan değerler tanım kümesinden dışlanır.
  • Çapraz çarpma ile paydalar yok edilerek denklem lineer hale getirilir.
  • Bulunan köklerin tanım kümesine uygunluğu mutlaka kontrol edilmelidir.

Cevap
Bu rasyonel denklemin tek çözümü x = -\tfrac{7}{5} olup x \neq -2 ve x \neq 1 şartlarına uyar.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Tanım kümesi:
    Denklemi oluşturan paydaların sıfır olmaması gerekir.
    $$x + 2 \neq 0,\quad x - 1 \neq 0\quad\Rightarrow\quad x \neq -2,;x \neq 1.$$

  2. Çapraz çarpma:
    $$\frac{x+3}{x+2} = \frac{x-5}{x-1}
    \quad\Longrightarrow\quad
    (x+3)(x-1) = (x-5)(x+2).$$

  3. Açılım ve düzenleme:
    $$(x+3)(x-1) = x^2 +2x -3,$$
    $$(x-5)(x+2) = x^2 -3x -10.$$
    Eşitleyince:
    $$x^2 + 2x - 3 = x^2 - 3x - 10
    \quad\Longrightarrow\quad
    2x - 3 = -3x - 10.$$

  4. Kökü bulma:
    $$2x + 3x = -10 + 3
    \quad\Longrightarrow\quad
    5x = -7
    \quad\Longrightarrow\quad
    x = -\frac{7}{5}.$$

  5. Tanım kümesi kontrolü:
    $$-\tfrac{7}{5} \neq -2,;1 \quad\checkmark$$
    Bu nedenle tek çözüm $x = -\tfrac{7}{5}$’tir.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Tanım Kümesi x \neq -2,\;x \neq 1 —
Çapraz Çarpma (x+3)(x-1)=(x-5)(x+2) x^2+2x-3 = x^2 -3x -10
Düzenleme 2x -3 = -3x -10 5x = -7
Kök — x = -\tfrac{7}{5}
Son Kontrol x = -\tfrac{7}{5} tanımda var mı? Evet

SSS

  1. Neden x \neq -2 ve x \neq 1 alınmalı?
    Paydada sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar, çözüm kümesinden çıkarılır.

  2. Her rasyonel denklemde çapraz çarpma yapılabilir mi?
    Evet; paydalar sıfır olmadığı sürece iki payda çapraz çarpılarak denklem lineer forma dönüştürülür.

  3. Çapraz çarpma sırasında nelere dikkat edilmeli?
    Payda kontrolleri önceden yapılmalı ve bulunan kökler tanım kümesine uygunluk açısından tekrar gözden geçirilmeli.

  4. Rasyonel denklem kökü nasıl kontrol edilir?
    Elde edilen kök payda sıfır yapan hiçbir değere eşit olmamalıdır.

Başka bir rasyonel denklem örneği çözmemi ister misiniz?
@Nurcan14