X+2y=6 doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlar toplamı kaçtır
X+2y=6 doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlar toplamı kaçtır?
Cevap:
Merhaba Merve! Öncelikle sorunuzu netleştireyim: X+2y=6 denklemiyle verilen doğru, koordinat eksenlerini (x-ekseni ve y-ekseni) hangi noktalarda keser ve bu noktaların koordinatlarının toplamı kaçtır? Bu, temel bir doğrusal denklemler ve grafik analizi konusudur. Adım adım açıklayarak, kavramları basit bir şekilde anlatacağım. Bu şekilde, hem cevabı öğrenirsiniz hem de benzer soruları kendiniz çözebilirsiniz.
Bu tür sorular, YKS TYT gibi sınavlarda sıkça karşılaşıyor ve koordinat geometrisi bilgisini test ediyor. Doğrunun eksenlerle kesişim noktalarını bulmak için, denklemi x=0 ve y=0 yaparak çözüyoruz. Sonra, bu noktaların koordinatlarını toplayacağız. Hadi adım adım inceleyelim.
İçindekiler
- Doğrunun Eksenlerle Kesişimi: Temel Kavramlar
- X-Eksenindeki Kesişim Noktası: Adım Adım Çözüm
- Y-Eksenindeki Kesişim Noktası: Adım Adım Çözüm
- Koordinatların Toplamı: Hesaplama
- Genel Yaklaşım ve Örnekler
- Özet Tablo: Kesişim Noktaları ve Sonuçlar
- Sonuç ve Özet
1. Doğrunun Eksenlerle Kesişimi: Temel Kavramlar
Öncelikle, koordinat eksenlerini anlamak önemli. Koordinat eksenleri, bir düzlemde x-ekseni (yatay) ve y-ekseni (dikey) olarak adlandırılır. Bir doğru, bu eksenleri belirli noktalarda keser. Örneğin:
- X-ekseni kesişimi: Doğrunun y=0 olduğu nokta, yani yatay eksenle buluşma noktasıdır. Bu, x-eksen kesitini (x-intercept) verir.
- Y-ekseni kesişimi: Doğrunun x=0 olduğu nokta, yani dikey eksenle buluşma noktasıdır. Bu, y-eksen kesitini (y-intercept) verir.
Verilen denklem x + 2y = 6 bir doğrusal denklemdir ve standart forma (Ax + By = C) uyar. Bu denklemi kullanarak kesişim noktalarını bulacağız. Kesişim noktaları, grafikte doğruyla eksenlerin buluştuğu yerlerdir. Bu noktaların koordinatlarını toplamak, genellikle sınavlarda hızlı hesaplama için kullanılır.
Bu işlem, koordinat geometrisinin temel bir parçasıdır. Örneğin, bir doğru eğer eksenleri kesiyorsa, bu noktalar denklemin köklerini temsil eder. Şimdi, sorunuzdaki denklemi adım adım çözelim.
2. X-Eksenindeki Kesişim Noktası: Adım Adım Çözüm
X-eksenindeki kesişim noktasını bulmak için, y=0 değerini denkleme yerleştiririz. Çünkü x-ekseninde y koordinatı sıfırdır.
Verilen denklem: x + 2y = 6
-
Adım 1: y=0’ı denkleme koyun.
x + 2(0) = 6 -
Adım 2: Basitleştirin.
x + 0 = 6 \quad \text{(yani)} \quad x = 6 -
Adım 3: Kesişim noktasını belirleyin.
Bu, (6, 0) noktasıdır. Yani, doğru x-eksenini (6, 0) noktasında keser.
Bu noktayı grafikte hayal edin: x=6 olduğunda y=0, yani yatay eksenin 6 birim sağında bir nokta.
3. Y-Eksenindeki Kesişim Noktası: Adım Adım Çözüm
Y-eksenindeki kesişim noktasını bulmak için, x=0 değerini denkleme yerleştiririz. Çünkü y-ekseninde x koordinatı sıfırdır.
Verilen denklem: x + 2y = 6
-
Adım 1: x=0’ı denkleme koyun.
0 + 2y = 6 -
Adım 2: Basitleştirin.
2y = 6
y = \frac{6}{2} = 3 -
Adım 3: Kesişim noktasını belirleyin.
Bu, (0, 3) noktasıdır. Yani, doğru y-eksenini (0, 3) noktasında keser.
Grafikte, y=3 olduğunda x=0, yani dikey eksenin 3 birim yukarısında bir nokta.
4. Koordinatların Toplamı: Hesaplama
Şimdi, iki kesişim noktasını bulduk: (6, 0) ve (0, 3). Soru, bu noktaların koordinatlarının toplamını soruyor. Koordinatlar toplamı, genellikle her noktanın x ve y değerlerini ayrı ayrı toplayıp sonra birleştirerek hesaplanır.
- (6, 0) noktasının koordinat toplamı: 6 + 0 = 6
- (0, 3) noktasının koordinat toplamı: 0 + 3 = 3
- Tüm koordinatların genel toplamı: (6 + 0) + (0 + 3) = 6 + 3 = 9
Bazen soru, sadece kesit değerlerinin (x-intercept ve y-intercept) toplamını kastediyor olabilir, ki bu durumda da 6 + 3 = 9 çıkar. Sonuç olarak, koordinatlar toplamı 9’dur.
Bu hesaplama, denklemin genel formundan da türetilebilir. Örneğin, bir doğru için Ax + By = C ise:
- X-eksen kesiti: C/A (eğer A ≠ 0)
- Y-eksen kesiti: C/B (eğer B ≠ 0)
Burada A=1, B=2, C=6 olduğundan: - X-kesiti = 6/1 = 6
- Y-kesiti = 6/2 = 3
- Toplam = 6 + 3 = 9
5. Genel Yaklaşım ve Örnekler
Bu yöntemi genelleştirmek için, herhangi bir doğrusal denklemin eksen kesişimlerini bulma adımlarını özetleyelim. Bu, sadece bu soruya özgü değil, tüm benzer sorular için geçerli.
-
Genel Adımlar:
- X-ekseni için: y=0’ı denkleme koyun ve x’i çözün.
- Y-ekseni için: x=0’ı denkleme koyun ve y’i çözün.
- Koordinatları toplayın: Bulunan noktaların x ve y değerlerini toplayın.
-
Örnek 1: Denklemi x - 3y = 9 olan doğru için:
- X-ekseni (y=0): x - 3(0) = 9 → x = 9, nokta (9, 0)
- Y-ekseni (x=0): 0 - 3y = 9 → -3y = 9 → y = -3, nokta (0, -3)
- Koordinatlar toplamı: (9 + 0) + (0 + (-3)) = 9 - 3 = 6
-
Örnek 2: Denklemi 2x + 4y = 8 olan doğru için:
- X-ekseni (y=0): 2x + 4(0) = 8 → 2x = 8 → x = 4, nokta (4, 0)
- Y-ekseni (x=0): 2(0) + 4y = 8 → 4y = 8 → y = 2, nokta (0, 2)
- Koordinatlar toplamı: (4 + 0) + (0 + 2) = 6
Bu örnekler, yöntemin tutarlılığını gösteriyor. Eğer denklemde A veya B sıfır olursa (örneğin, x=5 gibi), doğru sadece bir ekseni kesebilir, ama burada her ikisi de kesiliyor.
Grafikle doğrulama da yapabilirsiniz. Doğrunun eğimi (m) ve y-eksen kesiti (b) bulunarak y = mx + b formuna getirilebilir. Burada:
- x + 2y = 6 → 2y = -x + 6 → y = -\frac{1}{2}x + 3
- Eğim m = -1/2, y-eksen kesiti b = 3. X-eksen kesiti için y=0 yapıldığında x=6 bulunur, aynı sonuç.
6. Özet Tablo: Kesişim Noktaları ve Sonuçlar
Aşağıdaki tablo, sorunuzun çözümünü ve genel bir özetini sunuyor. Bu, bilgileri daha net hale getirir.
| Kesişim Noktası | Koordinatlar | Açıklama |
|---|---|---|
| X-Eksen Kesişimi | (6, 0) | Doğru, x-eksenini y=0 iken x=6’da keser. Koordinat toplamı: 6 |
| Y-Eksen Kesişimi | (0, 3) | Doğru, y-eksenini x=0 iken y=3’da keser. Koordinat toplamı: 3 |
| Genel Koordinatlar Toplamı | - | Tüm koordinatların toplamı: 6 + 0 + 0 + 3 = 9 |
Bu tablo, hızlı referans için idealdir. Gördüğünüz gibi, sonuç 9’dur.
7. Sonuç ve Özet
Sonuç olarak, x + 2y = 6 denklemiyle verilen doğru, koordinat eksenlerini (6, 0) ve (0, 3) noktalarında keser. Bu noktaların koordinatlarının toplamı 9’dur. Bu hesaplama, temel algebra kurallarını kullanarak yapıldı ve grafiksel olarak da doğrulanabilir.
Bu konu, koordinat geometrisinin temelini oluşturur ve YKS TYT’de sıkça test edilir. Eğer benzer sorularınız olursa, her zaman adım adım ilerleyin ve grafiği hayal ederek kontrol edin. Umarım bu açıklama, konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur – matematik eğlenceli olabilir, sen de yapabilirsin!