x^3 - 2xy - 3 = 0 olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonuna x = 1 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?
A) -\frac{1}{2}
B) \frac{5}{2}
C) \frac{7}{2}
D) 3
E) 4
Kapalı Fonksiyon Türevi ile Teğet Eğimi Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir (m = y'). F(x, y) = 0 biçimindeki kapalı fonksiyonlarda türev, her iki tarafın x’e göre türevi alınarak (çarpımın türevi kuralı uygulanarak) veya y' = -\frac{F_x}{F_y} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Teğet Noktasının Ordinatını (y) Bulma
Verilen x^3 - 2xy - 3 = 0 denkleminde x = 1 apsis değeri yerine yazılarak teğet noktasının koordinatları belirlenir:
1^3 - 2(1)y - 3 = 0 \implies -2 - 2y = 0 \implies y = -1
Teğet değme noktası (1, -1) noktasıdır.
Adım 2 — Kapalı Fonksiyonun x’e Göre Türevini Alma
Eşitliğin her iki tarafının x’e göre türevi alınır. Bu işlemde 2xy terimine çarpımın türevi kuralı uygulanır:
\frac{d}{dx}(x^3 - 2xy - 3) = 0 \implies 3x^2 - 2\left(1 \cdot y + x \cdot y'\right) = 0
3x^2 - 2y - 2xy' = 0 \implies y' = \frac{3x^2 - 2y}{2x}
Adım 3 — (1, -1) Noktasındaki Teğet Eğimini (m) Hesaplama
Elde edilen türev bağıntısında x = 1 ve y = -1 değerleri yerine yazılır:
m = y'(1) = \frac{3(1)^2 - 2(-1)}{2(1)} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}
CEVAP: B) \frac{5}{2} (m = \frac{5}{2})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çarpım halindeki -2xy ifadesinin türevi alınırken eksi işaretinin parantez içine dağıtılması unutulmamalıdır; -(2y + 2xy') biçiminde işlem yapmak işaret hatası riskini önler.