(x + 2) ve (2y + 1) aralarında asal sayılar olmak Üzere,
2xy
- 4y = 54- x
eşitliği veriliyor.
Buna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 9
B) 13
Tog 15
D) 18
Sbevielob
E) 2
(x + 2) ve (2y + 1) Aralarında Asal Olmak Üzere x+y Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İki sayının aralarında asal olması, 1’den başka ortak pozitif tam sayı bölenleri olmaması anlamına gelir. Bu tür problemlerde, verilen denklemi aralarında asal olan sayıların çarpımı veya birbirine eşit olduğu bir formata dönüştürmek gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Verilen eşitliği (x+2) ve (2y+1) ifadelerini içerecek şekilde düzenleyelim.
2xy + 4y = 54 - x
Eşitliğin sağındaki -x terimini sol tarafa alalım ve y terimlerini ortak paranteze alalım:
2xy + x + 4y = 54
Şimdi ifadeyi (x+2) ve (2y+1) şeklinde çarpanlara ayırmaya çalışalım. Sol tarafa +2 ekleyip çıkaralım ki çarpanlara ayırma kolaylaşsın:
x(2y+1) + 4y + 2 - 2 = 54
x(2y+1) + 2(2y+1) - 2 = 54
(x+2)(2y+1) - 2 = 54
Adım 2 — Aralarında Asal İfadeleri Eşitleme
-2 terimini eşitliğin sağına atarak (x+2) ve (2y+1) çarpımını elde edelim:
(x+2)(2y+1) = 56
Şimdi (x+2) ve (2y+1) ifadeleri aralarında asal sayılar olup, çarpımları 56’ya eşittir.
56’nın çarpan çiftlerini bulalım:
(1, 56), (2, 28), (4, 14), (7, 8) ve bunların tersleri.
Adım 3 — Aralarında Asallık Koşulunu Kontrol Etme
Çarpan çiftlerini kontrol edelim ve aralarında asal olanları seçelim:
- (1, 56): 1 ve 56 aralarında asaldır.
- (2, 28): 2 ve 28 aralarında asal değildir (ortak bölenleri 2).
- (4, 14): 4 ve 14 aralarında asal değildir (ortak bölenleri 2).
- (7, 8): 7 ve 8 aralarında asaldır.
Buna göre, iki olası durum vardır:
Durum 1: x+2 = 1 ve 2y+1 = 56
Durum 2: x+2 = 7 ve 2y+1 = 8
Durum 3: x+2 = 56 ve 2y+1 = 1
Durum 4: x+2 = 8 ve 2y+1 = 7
Adım 4 — x ve y Değerlerini Bulma ve Kontrol Etme
Durum 1:
x+2 = 1 \implies x = -1
2y+1 = 56 \implies 2y = 55 \implies y = 55/2
Soruda x ve y’nin tam sayı olduğu belirtilmemiştir, ancak genellikle bu tür sorularda doğal sayı veya tam sayı beklenir. Eğer x ve y doğal sayıysa bu durum geçersizdir. Ancak soruda belirtilmediği için şimdilik tutalım.
x+y = -1 + 55/2 = -2/2 + 55/2 = 53/2 = 26.5 (Şıklarda yok)
Durum 2:
x+2 = 7 \implies x = 5
2y+1 = 8 \implies 2y = 7 \implies y = 7/2
x+y = 5 + 7/2 = 10/2 + 7/2 = 17/2 = 8.5 (Şıklarda yok)
Durum 3:
x+2 = 56 \implies x = 54
2y+1 = 1 \implies 2y = 0 \implies y = 0
Bu durumda x=54 ve y=0 değerleri geçerlidir.
x+y = 54 + 0 = 54 (Şıklarda yok)
Durum 4:
x+2 = 8 \implies x = 6
2y+1 = 7 \implies 2y = 6 \implies y = 3
Bu durumda x=6 ve y=3 değerleri geçerlidir.
x+y = 6 + 3 = 9 (Şıklarda var)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aralarında Asal Sayılar
- Tanım: 1’den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılar kümesidir. Örneğin, 7 ve 8 aralarında asaldır.
- Bu problemde: (x+2) ve (2y+1) ifadelerinin aralarında asal olması, denklemi çarpanlara ayırdıktan sonra uygun çarpan çiftlerini seçmemizi sağladı.
2. Cebirsel İfade Düzenleme (Çarpanlara Ayırma)
- Tanım: Bir cebirsel ifadeyi daha basit terimlerin çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Ortak paranteze alma ve gruplandırma en yaygın yöntemlerdendir.
- Bu problemde: 2xy + x + 4y = 54 ifadesini (x+2)(2y+1) = 56 şeklinde çarpanlara ayırmak, problemi çözmek için kritik adımdı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tüm Çarpanları Kontrol Etmemek
- Yanlış: Sadece ilk akla gelen çarpan çiftini (örneğin 1 ve 56) değerlendirip diğer olasılıkları gözden kaçırmak.
- Doğru: Çarpımın tüm çarpan çiftlerini sistematik olarak listelemek ve her birini aralarında asallık koşuluna göre kontrol etmek.
- Neden yanlış: Bu tür sorularda birden fazla durum olabilir ve şıklarda doğru cevabı bulmak için tüm durumların incelenmesi gerekir.
y İçin Tam Sayı Olma Koşulunu İhmal Etmek (Eğer Belirtilirse)
- Yanlış: Eğer soruda x ve y doğal sayı veya tam sayı olarak belirtilseydi, y=55/2 veya y=7/2 gibi kesirli değerleri elememiz gerekirdi.
- Doğru: Problemdeki tüm kısıtlamaları (örneğin x,y \in \mathbb{Z} veya x,y \in \mathbb{N}) dikkatlice okumak ve çözüm kümesini buna göre daraltmak.
- Neden yanlış: Çözümlerinizin geçerliliği, verilen kısıtlamalara uyup uymamasına bağlıdır. Bu soruda belirtilmediği için kesirli sonuçlar da ilk aşamada değerlendirilmiştir.
Bu konuyu pekiştirmek için aralarında asal sayılarla ilgili başka bir problem çözmemi ister misin?