$x^2 + ax + b = 0$ Denkleminin Boş Küme Olmasını Sağlayan $(a + b)$ Toplamı

YKS TYT
1

a ve b birer görçel sayı olmak üzere (a+ b) toplamintn
kaç olduğunu bilen bir öğrenci bu bilgiyi kullararak
X+ ax +b 0
denkleminin gerçel sayilardaki çõzüm kümesinin boş
küme olmasını sağlayan a sayilarının en geniş değer
aralığın (-8, 4) olarak hesaplarniştır.
Öğrencinin hesaplaması doğru olduğuna göre
(a + b) toplamı kaçtır?
A) 9
B)
C) 10
D) 7
E) 8

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 71.6 KB

2

x^2 + ax + b = 0 Denkleminin Boş Küme Olmasını Sağlayan (a + b) Toplamı

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

İkinci dereceden bir denklemin (ax^2 + bx + c = 0) gerçel sayılardaki çözüm kümesinin boş küme olması için denklemin diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir:

\Delta = b^2 - 4ac < 0

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Denklemin Diskriminantını Belirleme
Verilen denklem x^2 + ax + b = 0 şeklindedir. Burada:

  • Katsayılar: 1, a, b
  • Diskriminant: \Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b
    Denklemin gerçel kökü olmaması için:
a^2 - 4b < 0 \implies a^2 < 4b

Adım 2 — Eşitsizliği Çözme ve Değer Aralığını Bulma
a^2 < 4b eşitsizliğinde her iki tarafın karekökünü aldığımızda a sayısının değer aralığını buluruz:

|a| < \sqrt{4b} \implies -\sqrt{4b} < a < \sqrt{4b}

Adım 3 — Verilen Aralığı Kullanarak b Değerini Hesaplama
Öğrenci bu aralığı (-8, 4) olarak değil, bir toplam bilgisi kullanarak hesaplamıştır. Soruda (a+b) toplamının bilindiği söyleniyor. Bu durumda b yerine (k - a) yazılmıştır (burada k = a+b).
Denklemde b yerine k - a yazalım:

a^2 - 4(k - a) < 0
a^2 + 4a - 4k < 0

Adım 4 — Kökler Üzerinden k Sabitini Bulma
Bu ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm aralığı (-8, 4) olarak verilmişse, -8 ve 4 sayıları a^2 + 4a - 4k = 0 denkleminin kökleridir.
Kökler çarpımı formülünü kullanırsak:

a_1 \cdot a_2 = \frac{c}{a} = -4k
(-8) \cdot 4 = -4k
-32 = -4k \implies k = 8

(Doğrulama: Kökler toplamı -8 + 4 = -4 olmalıdır. Denklemde -b/a = -4/1 = -4 gelmektedir, çözüm tutarlıdır.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] a + b = 8 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Diskriminant (\Delta)

  • [Tanım:] Denklemin köklerinin varlığını ve türünü belirleyen ifadedir.
  • [Bu problemde:] \Delta < 0 şartı kullanılarak çözüm kümesinin boş küme olması sağlanmıştır.

2. Kökler ve Katsayılar İlişkisi

  • [Tanım:] ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler çarpımı c/a, toplamı -b/a dır.
  • [Bu problemde:] a değişkenine bağlı yeni eşitsizlikte kökler çarpımı yoluyla (a+b) toplamına ulaşılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Aralığı Doğrudan a^2 < 4b ile Kıyaslamak

  • [Yanlış:] Sadece a^2 < 4b diyerek \sqrt{4b} = 4 kabul etmek (Bu durumda aralık simetrik, yani (-4, 4) çıkardı).
  • [Doğru:] Sorudaki “öğrenci (a+b) bilgisini kullanarak” ifadesine dikkat edip b yerine k-a yazarak yeni bir eşitsizlik oluşturmak.
  • [Neden yanlış:] Soruda aralık simetrik (-8, 8) değil, (-8, 4) olarak verilmiştir; bu da b’nin sabit değil, a’ya bağlı bir toplamın parçası olduğunu gösterir.

Bu çözümde takıldığın veya benzer mantıkla başka bir soru çözmemi ister misin?