X 2 - 8x + 2a = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, a gerçek sayısı kaç

Maths Question
1

Soru:
x^2 - ax + 2a = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, a gerçek sayısı kaç farklı değer alabilir?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

x² - ax + 2a = 0 denkleminin kökleri tam sayı olduğuna göre, a gerçek sayısı kaç farklı değer alabilir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Bir ikinci dereceden denklemin kökleri x_1, x_2 ise:

  • Köklerin toplamı: x_1 + x_2 = a (burada -ax’nin katsayısının -1 olduğu için işaret değişir)
  • Köklerin çarpımı: x_1 \cdot x_2 = 2a

Kökler tam sayı olduğunda, x_1, x_2 \in \mathbb{Z}.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Köklerin toplamı ve çarpımı ilişkisini yaz

x_1 + x_2 = a ve x_1 x_2 = 2a

Adım 2 — a’yı köklerin toplamı cinsinden yaz

Buradan a = x_1 + x_2.

Adım 3 — a’yı çarpım ile yazıp eşitle

Aynı zamanda x_1 x_2 = 2a = 2(x_1 + x_2).

Yani:

x_1 x_2 = 2(x_1 + x_2)

Adım 4 — Denklemi düzenle

x_1 x_2 = 2x_1 + 2x_2
x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 = 0
x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = 4
(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 4

Adım 5 — Tam sayı çiftlerini bul

(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 4 dengeyi sağlamak için çarpanlar 4’ün bölenleri olmalı.

4’ün tam sayı bölenleri: \pm 1, \pm 2, \pm 4

Böylece (x_1 - 2, x_2 - 2) olarak aşağıdaki çiftler olabilir:

  1. (1, 4)
  2. (4, 1)
  3. (2, 2)
  4. (-1, -4)
  5. (-4, -1)
  6. (-2, -2)

Adım 6 — x_1, x_2 değerlerini bul

Her çift için:

  1. x_1 = 1 + 2 = 3, x_2 = 4 + 2 = 6
  2. x_1 = 4 + 2 = 6, x_2 = 1 + 2 = 3 (aynı kökler)
  3. x_1 = 2 + 2 = 4, x_2 = 2 + 2 = 4
  4. x_1 = -1 + 2 = 1, x_2 = -4 + 2 = -2
  5. x_1 = -4 + 2 = -2, x_2 = -1 + 2 = 1 (aynı kökler)
  6. x_1 = -2 + 2 = 0, x_2 = -2 + 2 = 0

Adım 7 — Her durumda a = x_1 + x_2 değerini hesapla

  1. a = 3 + 6 = 9
  2. a = 6 + 3 = 9 (tekrar)
  3. a = 4 + 4 = 8
  4. a = 1 + (-2) = -1
  5. a = -2 + 1 = -1 (tekrar)
  6. a = 0 + 0 = 0

Adım 8 — Farklı a değerlerini say

\{9, 8, -1, 0\}

Toplam 4 farklı değer var.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 4

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

x^2 - ax + 2a = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, a gerçek sayısı kaç farklı değer alabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Vieta bağıntıları: Bir ikinci dereceden denklem x^2 + bx + c = 0 için kökler r,s ise
    • r + s = -b
    • r s = c

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Vieta bağlarını yaz

r + s = a
r s = 2a

Adım 2 — a yerine r+s koy

r s = 2a
r s = 2(r + s)
r s - 2r - 2s = 0
r s - 2r - 2s + 4 = 4
(r - 2)(s - 2) = 4

Adım 3 — (r-2)(s-2)=4 eşitliğinin tamsayı çözümlerini bul

Durum 1: r-2 = 1,\; s-2 = 4

r = 1 + 2
r = 3
s = 4 + 2
s = 6
a = r + s
a = 3 + 6
a = 9

Durum 2: r-2 = 2,\; s-2 = 2

r = 2 + 2
r = 4
s = 2 + 2
s = 4
a = r + s
a = 4 + 4
a = 8

Durum 3: r-2 = 4,\; s-2 = 1

r = 4 + 2
r = 6
s = 1 + 2
s = 3
a = r + s
a = 6 + 3
a = 9

Durum 4: r-2 = -1,\; s-2 = -4

r = -1 + 2
r = 1
s = -4 + 2
s = -2
a = r + s
a = 1 + (-2)
a = -1

Durum 5: r-2 = -2,\; s-2 = -2

r = -2 + 2
r = 0
s = -2 + 2
s = 0
a = r + s
a = 0 + 0
a = 0

Durum 6: r-2 = -4,\; s-2 = -1

r = -4 + 2
r = -2
s = -1 + 2
s = 1
a = r + s
a = -2 + 1
a = -1

Distinct (farklı) bulunan a değerleri: 9,\;8,\;-1,\;0. Toplam sayıları 4’tür.

:white_check_mark: CEVAP: 4

TEMEL KAVRAMLAR:

  • Vieta bağıntıları

    • Tanım: İkinci dereceden denklemin kökleri ile katsayılar arasındaki ilişki.
    • Bu problemde: r+s=a ve rs=2a kullanıldı.

  • Çarpanlara ayırma

    • Tanım: İki sayının çarpımı verilince olası tamsayı çarpan çiftlerini bulma.
    • Bu problemde: (r-2)(s-2)=4 olarak sadeleştirildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış: Sadece r+s=a denklemini kullanıp rs koşulunu göz ardı etmek.

Doğru: Hem toplam hem de çarpım koşulunu birlikte kullanmak gerekir.

Neden yanlış: Tek koşul birden fazla çözüm verir; ikisini birlikte kullanınca kısıtlı çözümler bulunur.

Düzeltme: rs=2a ve a=r+s ikilisinden yola gidin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: