₂(x+1) dot ₃(6-x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

YKS TYT
1

\log_{2}(x+1) dot \log_{3}(6-x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1, 6)
B) (0, 5)
C) (-1, 5)
D) (0, 6)
E) (5, 6) denklemi çözerken neden X’in katsayısına baktık da - dedik

₂(x+1) dot ₃(6-x) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
₂(x+1) dot ₃(6-x) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?1024×768 54.6 KB

2

Logaritmik Eşitsizliklerin Çözümü ve İşaret Tablosu Mantığı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanı 1’den büyük olan logaritma fonksiyonlarında (a > 1):

  • u > 1 \iff \log_a(u) > 0 (Pozitif)
  • u = 1 \iff \log_a(u) = 0 (Kök)
  • 0 < u < 1 \iff \log_a(u) < 0 (Negatif)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tanım Kümesini Belirleme
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadeler kesinlikle sıfırdan büyük olmalıdır.

x + 1 > 0 \implies x > -1
6 - x > 0 \implies x < 6

Ortak Tanım Aralığı: (-1, 6)

Adım 2 — Eşitsizliğin Köklerini Bulma
Çarpımın işaret değiştirdiği noktaları bulmak için her çarpanı 0’a eşitleriz:

\log_4(x + 1) = 0 \implies x + 1 = 4^0 \implies x + 1 = 1 \implies x = 0
\log_2(6 - x) = 0 \implies 6 - x = 2^0 \implies 6 - x = 1 \implies x = 5

:red_question_mark: “Neden x’in katsayısına bakıp en sağa eksi (-) dedik?”

İşaret tablosu yapılırken en sağdaki bölgenin işaretini belirlemenin iki temel yolu vardır:

  1. Pratik Yöntem (Katsayılar Çarpımı):

    • \log_4(x + 1) ifadesinde x’in katsayısı +1 (pozitif) olduğundan, x arttıkça değer büyür.
    • \log_2(6 - x) ifadesinde x’in katsayısı -1 (negatif) olduğundan, x arttıkça parantez içi küçülür.
    • Çarpanlardaki x’lerin katsayı işaretleri çarpımı: (+) \cdot (-) = (-) olduğu için tabloya en sağdan - (eksi) ile başlanır.

  2. Mantıksal / Değer Verme Yöntemi (Neden-Sonuç):

    • Kökümüz 5 ile tanım sınırı 6 arasındaki bir değer seçelim (örneğin x = 5{,}5):
      • \log_4(5{,}5 + 1) = \log_4(6{,}5) > 0 \quad (+)
      • \log_2(6 - 5{,}5) = \log_2(0{,}5) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right) = -1 < 0 \quad (-)
      • Çarpımları: (+) \cdot (-) = (-) olur.

Adım 3 — İşaret Tablosunu Oluşturma

Tanım aralığı (-1, 6) sınırları içinde köklerimiz 0 ve 5’tir:

Aralık (-1, 0) (0, 5) (5, 6)
\log_4(x+1) - + +
\log_2(6-x) + + -
Çarpım - + -

Bizden çarpımın pozitif (> 0) olduğu aralık istendiği için çözüm kümesi (0, 5) aralığıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B Seçeneği — (0, 5)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Logaritmada İşaret: Taban 1’den büyükken içerisi 1’den büyükse sonuç pozitif, içerisi (0, 1) aralığında ise sonuç negatiftir.
  • İşaret Tablosu Mantığı: (-x) ifadesi x büyüdükçe içeriği küçülttüğü için fonksiyonun değerini azaltır ve 1’in altına düşürerek logaritmayı negatif yapar.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Tanım kümesini (-1 < x < 6) bulmadan doğrudan köklerle tablo yapıp (- \infty, 0) aralığını da çözüme dahil etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Eşitsizlik çözülmeden önce mutlaka tanım aralığı belirlenmeli ve tablo bu sınırlar arasına kurulmalıdır.

Taban 1’den küçük (0 < a < 1) olsaydı işaret tablosunun nasıl etkileneceğini incelemek ister misin?