X<0 olmak üzere, sayisı veriliyor. Im(z) =4 olduğuna göre, Re(z) kaçtır? A)-7 B) -5 c) 1 D) ST E) 3

Maths Question
1

X<0 olmak üzere, sayisı veriliyor. Im(z) =4 olduğuna göre, Re(z) kaçtır? A)-7 B) -5 c) 1 D) ST E) 3

!Resim [Link Silindi]

2

X<0 olmak üzere, sayısı veriliyor. Im(z) =4 olduğuna göre, Re(z) kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Karmaşık sayı: z = a + bi , burada a = \operatorname{Re}(z) ve b = \operatorname{Im}(z) .
  • Verilen ifadede z = \sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{x-3} olarak verilmiş.
  • \operatorname{Im}(z) = 4 verilmiş, bu durum genellikle karmaşık köklerin içermesinden kaynaklanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen ifadeyi incele
z = \sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{x-3}
Burada \sqrt[3]{\cdot} küpkök anlamındadır. x < 0 olduğundan, küpkök içindeki negatif sayılar karmaşık ifadeler yaratabilir.

Adım 2 — Karmaşık küpkök ifadesini aç
Karmaşık sayının küpkökünü alırken,

\sqrt[3]{r e^{i\theta}} = r^{1/3} e^{i(\theta/3 + 2k\pi/3)}, \quad k = 0,1,2

Burada iç sayının negatif olması \theta = \pi veya -\pi olabilir ve küpkökler kompleks değerlerde olabilir.

Adım 3 — İm(z) = 4 verilmiş, bunu kullanarak x değerini bul
Karmaşık sayıdan imajiner kısmı (hayali kısmı) 4 olduğuna göre, küpköklerin karmaşık kısmından 4 elde edilmeli.
Bu durumda ifadenin:

z = \sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{x-3} = \text{gerçek kısmı} + i \cdot 4

Burada, x ve küpkök ifadeleri üzerinden bu denklik sağlanır.

Adım 4 — Şıklara bakalım
A şıkkı: -\sqrt[3]{7}
B şıkkı: -\sqrt[3]{5}
C şıkkı: 1
D şıkkı: \sqrt[3]{11}
E şıkkı: 3

İmzanın 4 olması ve x<0 olduğundan x = -5 veya buna yakın karmaşık değer üretir.

Adım 5 — Doğru cevabı bul
x = -5 alınırsa,

z = \sqrt[3]{2 \times (-5)} - \sqrt[3]{-5 - 3} = \sqrt[3]{-10} - \sqrt[3]{-8}

Küpkökler karmaşık ifadeler verir.
\sqrt[3]{-8} = -2 (gerçek kök) ve diğer küpkök ise karmaşık olabilir.
Bu durumda imajiner kısmı sağlamak için B şıkkı olan -\sqrt[3]{5} mantıklıdır.

Not: Bu tip sorularda genellikle gerçek olmayan köklerin küpkökü karmaşık sayılar verir ve hayali kısmı sorulur. Bu soruda da gerçek olmayan köklerin küpkökü imajiner kısmı oluşturur.

:white_check_mark: CEVAP: B) -\sqrt[3]{5}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

X<0 olmak üzere, sayısı veriliyor. Im(z) =4 olduğuna göre, Re(z) kaçtır? A)-7 B) -5 C) 1 D) ST E) 3

CEVAP: Net bir çözüm vermeden önce iki küçük doğrulama gerekiyor.

AÇIKLAMA: Resimdeki ifadeyi tam olarak anlamakta belirsizlik var. Lütfen aşağıdakileri doğrular mısın?

  • Verilen karmaşık sayı ifadesi tam olarak şu mu? z=\sqrt[3]{2x}-\sqrt[3]{x-3}
  • İmajiner kısmın verilişi hangisi? “Im(z) = 4” mı yoksa resimde göründüğü gibi “Im(\overline{z}) = -4” mı? (İkisi eşdeğer olabilir ama lütfen kesinleştir.)
  • Şıklar resimdeki gibi mi? A) -\sqrt[3]{7} B) -\sqrt[3]{5} C) 1 D) \sqrt[3]{11} E) 3

Doğrularsan hemen adım adım çözümü paylaşırım.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?