Rasyonel Sayılarda Sıralama
4. x < 0 olmak üzere,
a = \frac{x}{11}, b = \frac{x}{13} ve c = \frac{x}{15}
sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) b < a < c
C) b < c < a
D) c < b < a
E) c < a < b
x < 0 Şartına Göre a = \frac{x}{11}, b = \frac{x}{13} ve c = \frac{x}{15} Sayılarının Sıralanışı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan sayı daha büyüktür. Ancak sayılar negatif (x < 0) olduğunda sıralama yön değiştirir; mutlak değerce büyük olan negatif sayı daha küçüktür:
x > 0 \implies \frac{x}{11} > \frac{x}{13} > \frac{x}{15}
x < 0 \implies \frac{x}{11} < \frac{x}{13} < \frac{x}{15}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Pozitif Olma Durumunu İnceleme
Eğer x > 0 (pozitif) bir sayı olsaydı:
Payları eşit olan pozitif kesirlerde paydası en küçük olan en büyük olacağı için sıralama:
\frac{x}{11} > \frac{x}{13} > \frac{x}{15} \implies a > b > c
şeklinde olurdu.
Adım 2 — Negatiflik Durumunu (x < 0) Uygulama
Soruda x < 0 (negatif) olarak verilmiştir. Bir eşitsizlik negatif bir değer aldığında veya negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
a > b > c \xrightarrow{x < 0} a < b < c
Adım 3 — Değer Vererek Doğrulama
Durumu somutlaştırmak için x = -1 değerini verelim:
- a = \frac{-1}{11} \approx -0{,}0909
- b = \frac{-1}{13} \approx -0{,}0769
- c = \frac{-1}{15} \approx -0{,}0667
Sayı doğrusunda sıfıra daha uzak olan negatif sayı daha küçüktür:
-0{,}0909 < -0{,}0769 < -0{,}0667 \implies a < b < c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (a < b < c)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama
- Tanım: Negatif sayılar sıfırdan sola doğru uzaklaştıkça küçülür.
- Bu problemde: Paydası küçük olan \frac{x}{11} kesri mutlak değerce en büyük olsa da, x negatif olduğu için sayı doğrusunda en solda yer alır ve en küçük değere sahip olur (a < b < c).
SIK YAPILAN HATALAR:
x < 0 Şartını Unutarak Pozitif Gibi Sıralamak
- Yanlış: a > b > c \implies c < b < a (D şıkkı)
- Doğru: a < b < c (A şıkkı)
- Neden Yanlış: Sorunun başındaki x < 0 bilgisi gözden kaçırıldığında sayılar pozitif kabul edilir ve sıralama tam tersi bulunur.
Bu soru tipini pekiştirmek için x < 0 yerine x değişkeninin paydada olduğu benzer bir rasyonel sayı sıralama sorusu çözmemi ister misin?