What is the sum of the roots of the quadratic equation?

[Rio]

Soru:
What is the sum of the roots of the quadratic equation?
a

x^2 + bx + c = 0 with roots x_1 and x_2, and x_1 + x_2 = 8. Find the sum of the roots of the equation \left(\frac{x - 1}{3} \right)^2 - b \left(\frac{x - 1}{3} \right) + c = 0.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

İkinci denklemin köklerinin toplamı nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, denklemin katsayılarına göre -\frac{b}{a} formülüyle bulunur.
• Yeni değişken tanımlayarak denklemi standart forma getireceğiz.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yeni değişken tanımla

Verilen ikinci denklemde t = \frac{x-1}{3} şeklinde tanımlanmış. Yeni değişken t olsun:

a t^2 - b t + c = 0

Bu denklemin kökleri t_1 ve t_2 olsun.

Adım 2 — Orijinal denklemin köklerinin toplamı

Orijinal denklem:

a x^2 + b x + c = 0

Köklerin toplamı:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8

Buradan

-\frac{b}{a} = 8 \implies \frac{b}{a} = -8

Adım 3 — t’nin köklerinin toplamını bul

a t^2 - b t + c = 0

Burada a katsayısı aynı, b katsayısı -b, sabit terim c.

Köklerin toplamı:

t_1 + t_2 = -\frac{-b}{a} = \frac{b}{a}

Önceki adımdan \frac{b}{a} = -8 idi.

Adım 4 — t ve x arasındaki ilişki

t = \frac{x-1}{3} \implies x = 3t + 1

Adım 5 — Yeni denklemin x köklerini bul

Yeni denklemin kökleri x’e göre x_1', x_2' olsun.

x_1' = 3 t_1 + 1

x_2' = 3 t_2 + 1

Toplamları:

x_1' + x_2' = 3 (t_1 + t_2) + 2 \cdot 1 = 3 \cdot (-8) + 2 = -24 + 2 = -22

---

CEVAP: -22 (A şıkkı)

---

TEMEL KAVRAMLAR:

• Köklerin toplamı: İkinci dereceden bir denklemde köklerin toplamı -\frac{b}{a}'dır.
• Değişken değişimi: Yeni bir ifade değişken olarak alınınca, orijinal değişkene geri dönmek için uygun dönüşüm yapılır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sorumatik_GPT-5]

ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olup x_1 + x_2 = 8 olduğuna göre, a\left(\frac{x-1}{3}\right)^2 - b\left(\frac{x-1}{3}\right) + c = 0 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Katsayılar arasındaki ilişkiyi kur

Orijinal denklemin kökleri için Vieta:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

-\frac{b}{a} = 8

b = -8a

Adım 2 — Değişken dönüşümü yap

Yeni değişkeni tanımla:

y = \frac{x-1}{3}

Yeni denklem y ile:

a y^2 - b y + c = 0

Adım 3 — y köklerinin toplamı

y köklerinin toplamı Vieta ile:

y_1 + y_2 = -\frac{-b}{a}

y_1 + y_2 = \frac{b}{a}

Adım 4 — x köklerinin toplamını bul

x kökleri ile y kökleri arasındaki ilişki:

x = 3y + 1

x kökleri toplamı:

x_1' + x_2' = 3(y_1 + y_2) + 1 + 1

x_1' + x_2' = 3(y_1 + y_2) + 2

y_1 + y_2 ifadesini kullan:

x_1' + x_2' = 3\left(\frac{b}{a}\right) + 2

b = -8a olduğu için yerine koy:

x_1' + x_2' = 3\left(\frac{-8a}{a}\right) + 2

x_1' + x_2' = 3(-8) + 2

x_1' + x_2' = -24 + 2

x_1' + x_2' = -22

Adım 5 — A Seçeneğini İncele

A Seçeneği: -22

• Açıklama: Hesaplanan toplam ile değer aynıdır.

Adım 6 — B Seçeneğini İncele

B Seçeneği: -10

• Açıklama: Hesaplanan toplam -22 olduğundan -10 ile uyuşmaz — YANLIŞ.

Adım 7 — C Seçeneğini İncele

C Seçeneği: -8

• Açıklama: Hesaplanan toplam -22 olduğundan -8 ile uyuşmaz — YANLIŞ.

Adım 8 — D Seçeneğini İncele

D Seçeneği: 8

• Açıklama: Hesaplanan toplam -22 olduğundan 8 ile uyuşmaz — YANLIŞ.

Adım 9 — E Seçeneğini İncele

E Seçeneği: 26

• Açıklama: Hesaplanan toplam -22 olduğundan 26 ile uyuşmaz — YANLIŞ.

Adım 10 — Seçenek Karşılaştırması

A. -22 — DOĞRU (hesaplanan değerle eşleşiyor)

B. -10 — YANLIŞ (eşleşmiyor)

C. -8 — YANLIŞ (eşleşmiyor)

D. 8 — YANLIŞ (eşleşmiyor)

E. 26 — YANLIŞ (eşleşmiyor)

Adım 11 — Son Doğrulama

Hesaplamalar Vieta bağıntıları ve değişken dönüşümü doğru şekilde uygulanarak yapıldı; sonuç tutarlıdır ve seçenekler arasında yalnızca A ile uyumludur.

CEVAP: A. -22

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!