Bu problemi çözmek için adım adım ilerleyelim:
1. Verileri ve Hızları Belirleyelim
Ustanın Hızı:
-
6 dakikada 18 simit yapıyor
Bu durumda ustanın 1 dakikadaki simit yapma hızı:
$$\text{Bir dakikadaki simit: } \frac{18}{6} = 3 \text{ simit}. $$ -
9 dakikada 18 poğaça yapıyor
Bu durumda ustanın 1 dakikadaki poğaça yapma hızı:
$$\text{Bir dakikadaki poğaça: } \frac{18}{9} = 2 \text{ poğaça}. $$
Çırağın Hızı:
-
8 dakikada 4 simit yapıyor
Çırağın 1 dakikadaki simit yapma hızı:
$$\text{Bir dakikadaki simit: } \frac{4}{8} = 0.5 \text{ simit}. $$ -
6 dakikada 12 poğaça yapıyor
Çırağın 1 dakikadaki poğaça yapma hızı:
$$\text{Bir dakikadaki poğaça: } \frac{12}{6} = 2 \text{ poğaça}. $$
2. Toplam Siparişi Belirleyelim
Sipariş:
- 432 simit.
- 576 poğaça.
3. Usta ve Çırak Birlikte Çalışarak Siparişi Tamamlama Süresini Bulalım:
- Usta ve çırak birlikte çalışarak her 1 dakikada yapabildikleri iş miktarını hesaplarken simit ve poğaçaları ayrı ayrı hesaplarız.
Simit Yapma Kapasitesi:
- Usta 1 dakikada 3 simit yapabiliyor.
- Çırak 1 dakikada 0.5 simit yapabiliyor.
Birlikte:
$$\text{Bir dakikada toplam simit yapma: } 3 + 0.5 = 3.5 \text{ simit}. $$
432 simiti yapmaları için gereken süre:
$$\text{Süre: } \frac{\text{Toplam simit sayısı}}{\text{Bir dakikadaki toplam simit yapma hızı}} = \frac{432}{3.5}.$$
Hesaplayalım:
$$ \frac{432}{3.5} = 123.43 \text{ (yaklaşık 124 dakika)}.$$
Poğaça Yapma Kapasitesi:
- Usta 1 dakikada 2 poğaça yapabiliyor.
- Çırak 1 dakikada 2 poğaça yapabiliyor.
Birlikte:
$$\text{Bir dakikada toplam poğaça yapma: } 2 + 2 = 4 \text{ poğaça}. $$
576 poğaçayı yapmaları için gereken süre:
$$\text{Süre: } \frac{\text{Toplam poğaça sayısı}}{\text{Bir dakikadaki toplam poğaça yapma hızı}} = \frac{576}{4}.$$
Hesaplayalım:
$$ \frac{576}{4} = 144 \text{ dakika}. $$
4. Hangisi Daha Uzun Sürer?
- Simit yapma süresi: 124 dakika.
- Poğaça yapma süresi: 144 dakika.
Siparişin tamamlanması için her ikisinin de bitmesi gerekir, yani toplamda en az sipariş tamamlama süresi:
$$\text{144 dakika.}$$
5. Cevap:
Bu durumda siparişin tamamlanması için gereken minimum süre 144 dakikadır.
| Hesaplama Tablosu | Usta (dakikada) | Çırak (dakikada) | Birlikte (dakikada) | Toplam sipariş | Süre (dakika) |
|---|---|---|---|---|---|
| Simit Yapma Kapasitesi | 3 simit | 0.5 simit | 3.5 simit | 432 simit | 124 dakika |
| Poğaça Yapma Kapasitesi | 2 poğaça | 2 poğaça | 4 poğaça | 576 poğaça | 144 dakika |
Sonuç: En az sipariş tamamlama süresi: 144 dakika.
17. Soru: Bir usta ile bir çırak 432 simit ve 576 poğaçadan oluşan bir siparişi en az kaç dakika sonra tamamlayabilirler?
Table of Contents
1. Problemin Özeti
Bir ustanın ve çırağın birlikte 432 adet simit ve 576 adet poğaça yapmaları isteniyor. Ustanın ve çırağın her bir ürünü yapma hızları aşağıdaki gibidir:
- Usta:
- 6 dakikada 18 simit veya 9 dakikada 18 poğaça
- Çırak:
- 8 dakikada 4 simit veya 6 dakikada 12 poğaça
Amaç, ustayla çırağın bu işi en kısa sürede tamamlayacakları zamanı bulmaktır.
2. Temel Veriler ve Hız Bilgileri
Birim zamanda üretim hızlarını dakika başına ürüne dönüştürelim:
-
Usta
- Simit hızı: 18 simit / 6 dk = 3 simit/dk
- Poğaça hızı: 18 poğaça / 9 dk = 2 poğaça/dk
-
Çırak
- Simit hızı: 4 simit / 8 dk = 0,5 simit/dk
- Poğaça hızı: 12 poğaça / 6 dk = 2 poğaça/dk
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Değişkenlerin Tanımlanması
Her iki kişinin toplam çalışma süresi T dakika olsun. Ancak bu T içinde herkes hem simit hem de poğaça yapabilir.
- Usta:
- x dakika simit yapsın → kalan (T - x) dakikada poğaça yapsın.
- Çırak:
- y dakika simit yapsın → kalan (T - y) dakikada poğaça yapsın.
3.2. Simit İçin Üretim Denklemi
Usta dakikada 3 simit, çırak dakikada 0,5 simit üretebiliyor. Toplam simit sayısı 432 olduğuna göre:
3x + 0,5y = 432
3.3. Poğaça İçin Üretim Denklemi
Usta (T - x) dakika poğaça üretirse, ustanın dakikadaki poğaça hızı 2 poğaça/dk. Çırak da (T - y) dakika poğaça üretecek, onun hızı da 2 poğaça/dk. Toplam 576 poğaça için:
2(T - x) + 2(T - y) = 576
3.4. Zaman Eşitliği ve Optimum Dağılım
Herkesin toplam çalışma süresi T olduğu için usta x dakika simit + (T - x) dakika poğaça yapar, çırak y dakika simit + (T - y) dakika poğaça yapar. Bu değeri en küçük kılan T’yi arıyoruz.
T = 216’nın Uygunluğunun Gösterilmesi
- Eğer Usta yalnızca simit yapsa (x dakika = 144 dakikada 432 simit), geriye 72 dakika kalır (poğaça için). 72 dakikada 2 poğaça/dk hızla 144 poğaça üretir.
- Çırak ise simit için sıfır dakika ayırsa (y = 0), tüm 216 dakikayı poğaçaya harcar. Dakikada 2 poğaça → 216 × 2 = 432 poğaça.
Böylece poğaçalar ustayla çırağın toplamda 144 + 432 = 576 poğaça ürettiklerini gösterir. Simit de ustanın 432 üretmesiyle tamamlanır. İkisi aynı anda 216 dakika çalışır ve tüm iş 216 dakikada biter.
Daha kısa bir zaman (örneğin 192 dk) denendiğinde matematiksel olarak bu koşullar sağlanamaz. Dolayısıyla en az süre 216 dakika olur.
4. Tablo ile Özet
| Kişi | Dakika Başına Simit Hızı | Dakika Başına Poğaça Hızı | Dağılım | Üretim Miktarı |
|---|---|---|---|---|
| Usta | 3 simit/dk | 2 poğaça/dk | 144 dk simit + 72 dk poğaça = 216 dk | Simit: 3×144=432 Poğaça: 2×72=144 |
| Çırak | 0,5 simit/dk | 2 poğaça/dk | 0 dk simit + 216 dk poğaça = 216 dk | Simit: 0 Poğaça: 2×216=432 |
| Toplam | - | - | 216 dk toplam | 432 simit + 576 poğaça |
5. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki hesaplar neticesinde, 432 simit ve 576 poğaça üretmek için usta ve çırak toplam 216 dakika çalışarak siparişi en kısa sürede tamamlayabilirler.