VRA MA TESTi
Bölme ve Bölünebilme - ||
X= 951
A) 0
y= 148
olduğuna göre, x^{2}y° çarpımından elde edilen sayının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 1
C)3
D) 4
E)6
9 ile Bölünebilme ve Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
- Kalanlar Aritmetiği: Bir çarpımın veya kuvvetin kalanı bulunurken, sayıların kendileri yerine bu sayıların kalanları ile işlem yapılabilir:x \equiv a \pmod 9 \quad \text{ve} \quad y \equiv b \pmod 9 \implies x^2 \cdot y^3 \equiv a^2 \cdot b^3 \pmod 9
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x ve y Sayılarının 9 ile Bölümünden Kalanları Bulma
Sayıların rakamlarını toplayarak 9 ile bölümünden elde edilen kalanları belirleyelim:
-
x = 951 \implies 9 + 5 + 1 = 15 \implies 15 = 9 \cdot 1 + 6 (Kalan: 6)
x \equiv 6 \pmod 9 -
y = 148 \implies 1 + 4 + 8 = 13 \implies 13 = 9 \cdot 1 + 4 (Kalan: 4)
y \equiv 4 \pmod 9
Adım 2 — İfadelerin Kuvvetlerinin Kalanlarını Hesaplama
Bulduğumuz kalanları x^2 \cdot y^3 ifadesinde yerine koyalım:
x^2 \equiv 6^2 = 36 \pmod 9
36 sayısı 9’un tam katı olduğu için (36 = 9 \cdot 4), x^2’nin 9 ile bölümünden kalan 0’dır:
x^2 \equiv 0 \pmod 9
Adım 3 — Çarpımın Kalanını Belirleme
Çarpım durumundaki terimlerden biri 9’a tam bölündüğünden (0 kalanını verdiğinden), tüm çarpım da 9’a tam bölünür:
x^2 \cdot y^3 \equiv 0 \cdot 4^3 \equiv 0 \pmod 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kalanlar Üzerinden İşlem: Sayıların kendilerini çarpmak ya da büyük kuvvetlerini almak yerine yalnızca kalanlarıyla işlem yapmak hesaplamayı son derece kolaylaştırır.
- Yutan Eleman Özelliği: Kalanlardan biri 0 olduğunda, çarpma işleminin sonucu doğrudan 0 olur; diğer terimleri hesaplamaya gerek kalmaz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 951^2 ve 148^3 gibi devasa sayıları çarpmaya çalışarak zaman kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Öncelikle sayıların 9 ile bölümünden kalanlarını bulup yalnızca bu kalanlarla (6^2 ve 4^3) işlem yapmak.
Benzer mantıkla çözülen başka bir bölünebilme sorusuyla pratik yapmak ister misin?