Vjjvgfdfd

YKS TYT
1

image
image3024×4032 1.07 MB

2

Problemin Çözümü: Kasa Bölme Problemi

Soru:

Bir yazar kasada, metal para koymak için dört aynı bölme vardır. Özdeş 10 tane 1 TL, dört bölmeye kaç farklı şekilde konulabilir?

Cevap Adımları:

Bu problem, özdeş nesnelerin ayrık bölmelere yerleştirilmesi ile ilgilidir ve “Yıldızlar ve Çubuklar” (Stars and Bars) yöntemi ile çözülebilir.

Formül: Yıldızlar ve Çubuklar Yöntemi

Özdeş n nesnenin k bölmeye dağıtımı için toplam düzenleme sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\text{C}(n+k-1, k-1)

Burada \text{C}(n+k-1, k-1), kombinasyon formülü “n eleman içinden k eleman seçimi” anlamına gelir ve şu şekilde ifade edilir:

\text{C}(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Problemi Formüle Etmek:

Bu problemde:

  • Özdeş 10 para var (n = 10)
  • 4 bölme var (k = 4)

Formüle yerleştirdiğimizde:

C(10+4-1, 4-1) = C(13, 3)

Hesaplama:

\text{C}(13, 3) = \frac{13!}{3! \cdot (13-3)!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1716}{6} = 286

Sonuç:

Özdeş 10 tane 1 TL, dört bölmeye 286 farklı şekilde konulabilir.

Doğru Seçenek:

D) 286

@Xyzmatematik

3

Bir yazar kasada, metal para koymak için dört aynı bölme vardır. Özdeş 10 tane 1 TL, dört bölmeye kaç farklı şekilde konulabilir?

Cevap:

Bu soru klasik bir “özdeş nesneleri farklı kutulara dağıtma” problemidir ve tekrarlı kombinasyon yöntemi kullanılır.

Konunun Temel Bilgisi

  • Özdeş 10 para (1 TL): Hepsi birbirinin aynısıdır, hangi kutuda kaç tane olduğuna bakılır, sıraya gerek yok.
  • 4 farklı bölme: “Kutular” farklıdır, dağıtımda hangi paranın hangi kutuda olduğunu bilmemiz gerekmez, sadece dağılış önemli.
  • Her bölme sıfır veya daha fazla para alabilir.

Bu tip sorularda, n adet özdeş nesne, r farklı kutuya dağıtılırken, her kutuya en az sıfır nesne gelebilirse (boş olma hakkı varsa) formül şudur:

\text{Farklı dağıtım sayısı} = \binom{n + r - 1}{r - 1}

Burada:

  • n = 10 (para sayısı)
  • r = 4 (bölme sayısı)

Adım Adım Çözüm

1. Formülü uygula

\text{Dağıtım sayısı} = \binom{10 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{13}{3}

2. Kombinasyon hesaplama

\binom{13}{3} kombinasyonunu açalım:

\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}
= \frac{1716}{6}
= 286

Yanıt ve Açıklama

  • 286 farklı şekilde bu 10 tane 1 TL, 4 ayrı bölmeye konulabilir.

Şıklara bakalım:

A) 210 B) 240 C) 270 D) 286 E) 320

Doğru cevap: D seçeneği, yani 286

Pratikte: Böyle bir soruda kümeler arası bölüştürme ve tekrarlı kombinasyon mantığını daima kullanmalısın!

Özetle:
Özdeş 10 para, 4 kutuya tam tamına 286 farklı biçimde konulabilir.

@Xyzmatematik

4

Özdeş 10 tane 1 TL, dört bölmeye kaç farklı şekilde konulabilir?

Answer:

Bu problem, özdeş nesnelerin (10 tane 1 TL) farklı bölmelere (4 tane bölme) dağıtılmasında kullanılan klasik bir “yıldız ve çubuk (stars and bars)” veya “bölme” problemidir. Formül şu şekildedir:

Dört bölmeye 10 özdeş parayı dağıtma sayısı:

\binom{10 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{13}{3}

\binom{13}{3} değeri:

\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286

Dolayısıyla 286 farklı şekilde konulabilir.

@Xyzmatematik

5

Özdeş 10 tane 1 TL paranın dört bölmeye kaç farklı şekilde konulabileceği?

Cevap: 286

İçindekiler

  1. Problem Tanımı
  2. Problemin Anlaşılması
  3. Kombinatoryal Modelin Kurulması
  4. Yıldızlar ve Çubuklar (Stars and Bars) Teoremi
    4.1. Teoremin İfadesi
    4.2. Kombinatoryal Kanıt ve Görselleştirme
  5. Adım Adım Çözüm
    5.1. Değişkenlerin Tanımlanması
    5.2. Denklem Kurulması
    5.3. Teorem Uygulaması
    5.4. Kombinasyon Hesabı
  6. Alternatif Çözüm: Üreteç Fonksiyonları Yaklaşımı
    6.1. Bölme Başına Üreteç Fonksiyonu
    6.2. Toplam Üreteç Fonksiyonu
    6.3. Katsayı Okunması
  7. Genelleme: n Parayı k Bölmeye Dağıtma
  8. Özet Tablo
  9. Sonuç ve Özet

1. Problem Tanımı

Bir yazar kasada metal para koymak için dört ayrı bölme vardır. Elimizde özdeş (ayırt edilemez) 10 adet 1 TL madeni para bulunuyor. Bu 10 madeni parayı, birbirinden farklı (numaralandırılmış) 4 bölmeye koymak istiyoruz.

Soru:
Özdeş 10 tane 1 TL para, dört bölmeye kaç farklı şekilde konulabilir?

Şıklarda
A) 210
B) 240
C) 270
D) 286
E) 320

2. Problemin Anlaşılması

  • Paralar birbirinin aynısıdır (özdeş), yani hangi paranın nereye gittiği değil, her bölmede kaç para olduğu önemlidir.
  • Bölmeler farklıdır (1., 2., 3. ve 4. bölme), dolayısıyla aynı dağılım ama bölmeler arasında yer değişikliği farklı bir durum olarak sayılır.
  • Her bölmeye sıfır veya daha fazla para konabilir (bölmelerin boş kalması serbest).

Dolayısıyla, problem x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10, her xᵢ ≥ 0 olacak şekilde negatif olmayan tüm tam sayı çözümlerinin sayısını bulmaktır.

3. Kombinatoryal Modelin Kurulması

  • x₁ = 1. bölmeye konan para sayısı
  • x₂ = 2. bölmeye konan para sayısı
  • x₃ = 3. bölmeye konan para sayısı
  • x₄ = 4. bölmeye konan para sayısı

Koşul:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10 ve xᵢ ≥ 0 (i = 1..4)

Bu tip negatif olmayan tam sayı çözümlerinin sayısını veren klasik yöntem “Yıldızlar ve Çubuklar” (Stars and Bars) teoremidir.

4. Yıldızlar ve Çubuklar (Stars and Bars) Teoremi

4.1. Teoremin İfadesi

Eşleştirilmemiş (özdeş) n adet nesneyi, k farklı bölmeye (k gruba) yerleştirmenin (dağıtmanın), her bölmeye 0’dan başlayarak herhangi bir sayıda nesne koyma durumundaki farklı dağılım sayısı:

Formül
C(n + k – 1, k – 1)

Burada
C(a, b) “a’nın b’li kombinasyonu” anlamındadır.

4.2. Kombinatoryal Kanıt ve Görselleştirme

  • n adet “yıldız” (★) temsilcisi
  • k–1 adet “çubuk” (|) temsilcisi
  • Toplam uzunluk = n + (k–1)
  • Yıldızlar arasındaki çubuk yerleşimi, bölmeler arası geçiş noktalarını belirler.

Örnek k = 4, n = 10 için:
★ ★ | ★ | | ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★

Bu dizide:

  • Birinci bölümde ★★ ⇒ x₁ = 2
  • İkinci bölümde ★ ⇒ x₂ = 1
  • Üçüncü bölümde hiç ★ yok ⇒ x₃ = 0
  • Dördüncü bölümde ★★★★★★★★ ⇒ x₄ = 7

Toplam uzunluk: 10 yıldız + 3 çubuk = 13. Bu 13 pozisyondan 3’ünü çubuk, 10’unu yıldız olarak seçmek = C(13,3) veya eşdeğer olarak C(13,10).

5. Adım Adım Çözüm

5.1. Değişkenlerin Tanımlanması

x₁, x₂, x₃, x₄ : sırasıyla 1., 2., 3., 4. bölmeye konan madeni para sayısı.

5.2. Denklem Kurulması

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10 ve xᵢ ≥ 0

5.3. Teorem Uygulaması

  • n = 10 (para sayısı)
  • k = 4 (bölme sayısı)

Dağıtım sayısı = C(n + k – 1, k – 1) = C(10 + 4 – 1, 4 – 1) = C(13, 3).

5.4. Kombinasyon Hesabı

C(13,3) = 13! / (3!·10!)
= (13 · 12 · 11) / (3 · 2 · 1)
= (1716) / 6
= 286

Bu nedenle doğru seçenek D) 286’dır.

6. Alternatif Çözüm: Üreteç Fonksiyonları Yaklaşımı

6.1. Bölme Başına Üreteç Fonksiyonu

Her bir bölmeye i para konma durumunu
1 + x + x² + x³ + … = 1/(1 – x)

şeklinde bir güç serisi (üreteç fonksiyonu) olarak yazarız.

6.2. Toplam Üreteç Fonksiyonu

Dört bölme için bağımsız çarpım:
G(x) = (1 + x + x² + …)⁴ = 1/(1 – x)⁴

6.3. Katsayı Okunması

(1 – x)^–4 serisi açılımına göre
1/(1 – x)⁴ = Σ [C(3 + n, 3)] · xⁿ (n ≥ 0)

n = 10 için katsayı C(10 + 3, 3) = C(13, 3) = 286.

7. Genelleme: n Parayı k Bölmeye Dağıtma

  • Özdeş n nesne, k farklı kutuya yerleştirme, her kutu ≥ 0:
    C(n + k – 1, k – 1)

  • Eğer her kutuda en az bir nesne olacaksa (xᵢ ≥ 1):
    Önce her kutuya 1’er yerleştir, geriye n–k nesne kalır ⇒
    C((n–k) + k – 1, k – 1) = C(n – 1, k – 1)

8. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Değişken Tanımı x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10, xᵢ ≥ 0 –
2. Yıldız & Çubuk Modeli Toplam uzunluk = 10 yıldız + 3 çubuk = 13 pozisyon –
3. Teorem Uygulaması C(n+k–1, k–1) = C(10+4–1, 4–1) C(13,3)
4. Kombinasyon Hesabı 13·12·11 / 3·2·1 = 286 286
5. Üreteç Fonksiyonları (1–x)^–4 = Σ C(3+n,3) xⁿ ⇒ n=10 için C(13,3) 286

9. Sonuç ve Özet

  • Problem, özdeş 10 para ve 4 farklı bölme arasında dağıtım sayısını sormaktadır.
  • Yıldızlar ve çubuklar teoremi kullanılarak ya da üreteç fonksiyonları ile çözüldü.
  • Elde edilen C(13,3) = 286 sonucuna göre doğru cevap D) 286’dır.

Cevap: 286

@Xyzmatematik