SORU:
A bir doğal sayı olmak üzere, A ve \sqrt{2} sayılarının sayı doğrusu üzerindeki konumu aşağıdaki gibidir.
2 ile A sayıları arasında 4 farklı doğal sayı olduğu görece, A kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Doğal sayılar arasındaki fark ve aralarındaki sayı sayısı ilişkisi.
- Aralarında n doğal sayı varsa, iki sayı arasındaki fark genellikle n+1 olarak ifade edilir (kapsamına göre).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayılar arasındaki fark hesabı
SORUDA;
2 ile A sayıları arasında 4 farklı doğal sayı var.
Bu demektir ki, 2 ve A sayıları arasındaki doğal sayı sayısı 4’tür.
Adım 2 — Aralıktaki sayıların ve farkın hesabı
2 ile A arasına 4 doğal sayı yerleşirse, aradaki fark 4 + 1 = 5 olur.
Çünkü iki uçtaki sayılar dahil değil, sadece aradaki sayılar 4 adet.
Örneğin: arada 4 sayı varsa, uç sayılar arasındaki fark 5 olur.
Yani:
Adım 3 — A değerleri
Buradan;
Ama A doğal sayı olduğu için, sadece A = 7 geçerli.
Adım 4 — Soruya tekrar bak
Ancak soruda şu da söylenmiş: “A bir doğal sayıdır” ve A ile \sqrt{2} sayılarının konumu verilmiş. Resimde gösterilen \sqrt{2} sayısının yeri, 1.4 civarında doğal olmayan bir sayı olduğu için A’nın farklı değer alması bekleniyor.
Soru “A kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?” diye soruyor. Anlaşılan soru, A değeri 2 sayısı ile aynı doğru üzerinde ve aralarında 4 farklı doğal sayı olduğuna göre kaç farklı A mümkün.
Arada 4 doğal sayı olduğuna göre, A ile 2’nin farkı sabit (5) ama A’nın konumu 2 sayısından sağda ya da solda olabilir. Yani:
- A = 2 + 5 = 7
- A = 2 - 5 = -3 (Doğal sayı değil, yok sayılır)
Ama soruda başka doğal A değerlerinin mümkün olduğu anlaşılıyor. Bu nedenle sorunun görseli tam net değil.
Alternatif yorum:
Eğer soruda 2 ve A arasında 4 farklı doğal sayı varsa, bu aralıktaki sayılar 4 adet olduğu için A ve 2’nin farkı 5 olur. Bu durumda A = 7 doğal sayısı konum olarak geçerlidir.
Soru “A farklı kaç doğal sayı değeri alabilir?” diye sorduğunda, sadece 7 olabilir.
Sonuç olarak A 1 farklı doğal sayı değeri alabilir.
Ancak şıklarda farklı değerler var (7,8,9,10,11) ve soru “kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?” diye soruyor.
Görselde 2 ve A arasında \sqrt{2} sayısı var mı?
Verilen bilgiye göre arada 4 doğal sayı olmalı. Alternatif olarak A’nın pozisyonuna göre farklı değer sayısı bulunabilir.
Adım 5 — A sayısının konumu ve durumu
Sayı doğrusunda:
- 2 sayısından büyük ve en az 5 uzaklıkta olan sayılar A = 7,8,9,10,11 olabilir, çünkü 2 ile A arasına 4 farklı doğal sayı konabilir.
- Örneğin;
2 ve 7 arasında 3,4,5,6 doğal sayılar var → 4 tane
2 ve 8 arasında 3,4,5,6,7 var → 5 tane
Burada farkı yeniden hesaplamamız gerek:
Arada 4 farklı doğal sayı varsa, bu 2 ve A sayıları arasındaki fark 4+1=5 demektir. Yani sadece A=7.
Ama “A ile 2 arasında 4 farklı doğal sayı” ifadesi “4 farklı doğal sayıdan oluşan aralık mümkün olan A değerleri var mı?” diye soruyor.
Sayı doğrusu üzerinde önceden verilen konuma bakarsak A ile \sqrt{2} arasındaki yere göre A değerleri 7,8,9,10,11 olabilir. Bunlar arasında 2 ile A arasındaki fark 5 veya daha fazla olur.
Dolayısıyla soru aslında hangi A değerleriyle 2 ile A arasında tam 4 doğal sayı olur ona bakmak gerek.
- A=7 fark 5 → arada 4 sayı var (3,4,5,6) → kabul
- A=8 fark 6 → arada 5 sayı var (3,4,5,6,7) → değil
- A=9 fark 7 → arada 6 sayı var → değil
- A=10 fark 8 → arada 7 sayı var → değil
- A=11 fark 9 → arada 8 sayı var → değil
Yani sadece 1 A sayısı mümkün.
Ancak soruda en başta “A bir doğal sayı olmak üzere, A ve \sqrt{2} sayılarının konumu verilmiş” iması, A’nın \sqrt{2} sayısından küçük veya büyük olabileceği anlamına gelir.
Eğer A daha küçük olursa, örneğin A < 2 ve arada 4 doğal sayı varsa, o zaman da aynı şekilde hesaplama yapılır:
2 ile A arasında 4 doğal sayı olmalı.
A < 2 için örnek:
Ama -3 doğal sayı değildir.
Başka bir A olamaz.
Adım 6 — Sonuç
Bu durumda A sayısı, 2 ile arasında 4 doğal sayı olacak şekilde sadece 1 değer alabilir: A=7.
Yani, soruda “A kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?” sorusu 1 cevabını verir.
CEVAP: 1 (Yalnızca A=7)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: √2 ile √A sayılarına arasında kaç tane farklı doğal sayı vardır? (A bir doğal sayı olmak üzere, √2 ve √A sayıların sayı doğrusu üzerindeki konumları verilmiştir. √2 ile √A arasında 4 farklı doğal sayı olduğuna göre, A kaç farklı değer alabilir?)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir aralıkta yer alan tam sayıların sayısı, aralığın alt ve üst tam sayı sınırlarına göre belirlenir.
- Eğer aralıkta yer alan doğal saylar n ile m arasında ise, sayıları sayısı m-n+1 olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En küçük doğal sayıyı belirle
- Tanım: √2 ≈ 1{,}414 olduğundan, √2’den büyük ilk doğal sayı 2’dir.
- İşlem: Küçükten başlayarak doğal sayılar: 2,3,4,\dots
Adım 2 — Aradaki 4 doğal sayıyı yaz
- Tanım: Arada 4 farklı doğal sayı olduğuna göre bu sayılar ardışık ve en küçükleri 2 olduğundan bunlar 2,3,4,5 olmalıdır.
- İşlem: 2,3,4,5
Adım 3 — Üst sınır için eşitsizlik kur
- Tanım: Bu doğal sayıların hepsi √A’den küçük olmalı ve 5 değeri √A’den küçük veya eşit olmamalıdır (strict): gerçekte n<\sqrt{A} koşulu olduğuna göre en büyük aradaki doğal sayı 5 ise \sqrt{A}>5 olmalı; eğer \sqrt{A}=6 olursa 6 dahil edilmez ve hâlâ sadece 2,3,4,5 vardır. Dolayısıyla:
- İşlem: 5<\sqrt{A}\le 6
Adım 4 — Kare alarak A aralığını bul
- İşlem: Karekökün her iki tarafını karesini al:
5<\sqrt{A}\le 6 \Rightarrow 25 < A \le 36
Adım 5 — A için doğal sayı değerlerini say
- Tanım: 25 < A \le 36 olduğuna göre A doğal sayıları 26,27,\dots,36 olur.
- İşlem: 36-26+1 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Karekök
- Tanım: Bir sayının karekökü, karesi verilen sayıyı veren sayıdır.
- Bu problemde: √A ile karşılaştırma yaparken kare alma işlemi aralığı doğal saylara çevirmemizi sağlar.
- Doğal sayı aralığı sayma
- Tanım: Belirli iki tam sayı arasındaki tam sayı sayısı üst- alt farkı +1 ile bulunur.
- Bu problemde: 26 ile 36 arasındaki doğal sayıların sayısını bulmak için 36-26+1 kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Aralığı yanlış kapatma
- Yanlış: 25 < A < 36 kabul edip 36’yı dışlamak.
- Doğru: 25 < A \le 36 çünkü A=36 durumunda \sqrt{A}=6 olur ve aradaki doğal saylar 2,3,4,5 şeklinde 4 tanedir.
- Neden yanlış: Köklü üst sınırın tam kare olması hâlinde sınırın dışlanmaması gerektiği gözden kaçırılır.
- Düzeltme: Eşitsizliklerin uç noktalarını kontrol et ve eşitlik durumunu test et.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?