Vesil Vatan" içIn yanan ormanların yeniden oluşturulması arnaciyla TG

Question Answer
1

Vesil Vatan" içIn yanan ormanların yeniden oluşturulması arnaciyla TG. Oman Genel Mudu-
Iriäü “Ormanlar sadece agaç degil; hayattır.” slogannyla boyları srasyla 120 cm, 140 crn ve
160 cm olan çam, ihlamur ve çinar agaçlarını Şekil 1’deki siralamayla dikmeyi planlamaktadir
K, L ve M noktalari doğrusaldır, (AK] / BL] / [CM, (AK] L d olarak veriliyor.
Ginar
Şeli 2
Ihlamur
Dikilen noktalar sabit kalmak üzere üç ağaç Şekil 2’deki gibi dikildiğinde mDEF) = 90
olmaktadır. Şekil 1 ve Şekil 2’de sirasıyla K, L, M ve D, E, F noktalan ağaçlarin uç noktalandt.
Buna göre |AC]nun kaç cm olduğunu bulunuz.
Çinar
B
Inlamur
A
Şelkil 1
Çam
yerilen katlanabilir merdivende |AB|/ |DC
=x cm. [DC|=y cm,

Vesil Vatan" içIn yanan ormanların yeniden oluşturulması arnaciyla TG.
Vesil Vatan" içIn yanan ormanların yeniden oluşturulması arnaciyla TG.800×1024 91.2 KB

2

Ağaçların Boyları ve Mesafe Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Doğrusallık (Eğim) Kuralı: Doğrusal noktalar arasındaki eğim sabittir:
    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1’dir (veya dik iki vektörün iç çarpımı 0’a eşittir):
    m_1 \cdot m_2 = -1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şekil 1’deki Doğrusallıktan Mesafe Oranını Bulma
Ağaçların boyları; Çam = 120\text{ cm}, Ihlamur = 140\text{ cm} ve Çınar = 160\text{ cm} olarak verilmiştir.
|AB| = x ve |BC| = y olsun. K, L ve M noktaları doğrusal olduğundan, bu noktaları birleştiren doğru parçalarının eğimleri birbirine eşit olmalıdır:

\frac{|BL| - |AK|}{|AB|} = \frac{|CM| - |BL|}{|BC|}
\frac{140 - 120}{x} = \frac{160 - 140}{y} \implies \frac{20}{x} = \frac{20}{y} \implies x = y

Buradan |AB| = |BC| = x ve |AC| = 2x olduğu görülür.

Adım 2 — Şekil 2’deki Ağaçların Konumlarını Belirleme
Dikim noktaları sabit kalmak üzere ağaçların yerleri değiştirilmiştir:

  • A noktasında Ihlamur vardır: Uç noktası D, boyu 140\text{ cm}
  • B noktasında Çam vardır: Uç noktası E, boyu 120\text{ cm}
  • C noktasında Çınar vardır: Uç noktası F, boyu 160\text{ cm}

A noktasını koordinat düzleminde orijin hizası kabul edersek noktaların koordinatları:

  • D(0, 140)
  • E(x, 120)
  • F(2x, 160)

Adım 3 — Diklik Şartını (m(\widehat{DEF}) = 90^\circ) Uygulama
[ED] ve [EF] doğru parçaları birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı -1’e eşittir:

  • ED doğrusunun eğimi:
    m_1 = \frac{140 - 120}{0 - x} = -\frac{20}{x}
  • EF doğrusunun eğimi:
    m_2 = \frac{160 - 120}{2x - x} = \frac{40}{x}

Diklik bağıntısını kuralım:

m_1 \cdot m_2 = -1
\left(-\frac{20}{x}\right) \cdot \left(\frac{40}{x}\right) = -1
-\frac{800}{x^2} = -1 \implies x^2 = 800 \implies x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}\text{ cm}

Adım 4 — |AC| Uzunluğunu Hesaplama
Bizden istenen toplam mesafe |AC| = 2x’tir:

|AC| = 2 \cdot 20\sqrt{2} = 40\sqrt{2}\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 40\sqrt{2}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Doğrusallık ve Eğim: Bir doğru üzerindeki herhangi iki nokta çiftinden hesaplanan dikey farkın yatay farka oranı (eğim) daima sabittir.
  • Dik Doğrular: Analitik düzlemde birbirine dik kesişen doğruların eğimler çarpımı daima -1’dir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Şekil 2’de ağaçların boy sıralamasını Şekil 1 ile aynı kabul etmek veya |AC| yerine yalnızca x değerini (20\sqrt{2}) cevap olarak işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Şekil 2’deki ağaç türlerini (A’da Ihlamur, B’de Çam, C’de Çınar) boylarıyla doğru eşleştirmek ve bizden |AB| değil, tamamı olan |AC| = 2x değerinin istendiğine dikkat etmek.

Benzer bir analitik geometri sorusu çözerek diklik ve eğim konusunu daha da pekiştirmek ister misin?