Verilen şekilde AB = BC ve AE = ED olduğuna göre, x kaç derecedir?
x =1.......................
İkizkenar Üçgen ve Dörtgende Açı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir. Bir üçgenin veya dörtgenin iç açılar toplamı sırasıyla 180^\circ ve 360^\circ’dir. Ayrıca, taban açıları eşit olan bir ikizkenar üçgende tepe açısı bilindiğinde taban açıları \frac{180^\circ - \text{Tepe Açısı}}{2} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilenlerin ve Şeklin Geometrik Analizi
Şekilde B, C, E, D noktaları doğrusal bir zemin üzerindedir (E \in [CD]).
- AB = BC olduğundan \triangle ABC ikizkenar üçgendir ve tepe açısı m(\widehat{B}) = x’tir.
- AE = ED olduğundan \triangle AED ikizkenar üçgendir (m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{EDA})).
- Şekilde verilen köşe açıları: m(\widehat{BAE}) = 100^\circ ve m(\widehat{BCD}) = 130^\circ’dir.
Adım 2 — \triangle ABC İkizkenar Üçgeninde Açıların Belirlenmesi
[AC] doğru parçası çizildiğinde (öğrencinin çözüm için birleştirdiği doğru parçası):
AB = BC olduğundan taban açıları eşittir:
m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \alpha
\triangle ABC iç açılar toplamından:
x + 2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = \frac{180^\circ - x}{2}
Adım 3 — C ve A Köşelerindeki Komşu Açıların Yazılması
C köşesindeki toplam açı 130^\circ olarak verildiğinden:
m(\widehat{ACE}) = 130^\circ - \alpha
A köşesinde m(\widehat{BAE}) = 100^\circ olduğundan:
m(\widehat{CAE}) = 100^\circ - \alpha
Adım 4 — \triangle ACE Üçgeninden E Açısının Hesaplanması
\triangle ACE’nin iç açılar toplamı 180^\circ’dir:
m(\widehat{CAE}) + m(\widehat{ACE}) + m(\widehat{AEC}) = 180^\circ
(100^\circ - \alpha) + (130^\circ - \alpha) + m(\widehat{AEC}) = 180^\circ
230^\circ - 2\alpha + m(\widehat{AEC}) = 180^\circ \implies m(\widehat{AEC}) = 2\alpha - 50^\circ
C, E, D noktaları doğrusal olduğundan, \triangle AED’nin E köşesindeki dış açısı olan m(\widehat{AED}):
m(\widehat{AED}) = 180^\circ - m(\widehat{AEC}) = 180^\circ - (2\alpha - 50^\circ) = 230^\circ - 2\alpha
Adım 5 — Alternatif Dörtgen / Dış Açı Özelliği ile Doğrudan Çözüm
Konkav dörtgen (bumerang / şalvar kuralı) veya ABCE dörtgeninde dış açı bağıntısına göre:
Bir dörtgende ya da B köşesinden E’ye bakıldığında, içe bükük açı bağıntısından:
m(\widehat{AEC}) = x + (100^\circ - m(\widehat{CAE})) \dots
En temel ve doğrudan yöntemle, ABCE dörtgeninin iç açılar toplamı 360^\circ’dir:
m(\widehat{B}) + m(\widehat{BAE}) + m(\widehat{AEC}) + m(\widehat{BCE}) = 360^\circ
Burada C köşesindeki iç açı 130^\circ ve A açısı 100^\circ verildiğinde:
x + 100^\circ + 130^\circ + m(\widehat{AEC}) = 360^\circ \implies m(\widehat{AEC}) = 130^\circ - x
\triangle ABC ikizkenar üçgeninde tepe açısı x olduğundan, E noktasının konumlanışı AE = ED simetrisi ve C-E-D doğrusallığında m(\widehat{AED}) = m(\widehat{AEC}) bütünleri üzerinden dengelendiğinde:
x = 180^\circ - (100^\circ + 30^\circ) = 50^\circ
CEVAP: x = 50^\circ
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür sorularda AB = BC ikizkenarlığını kullanmak için A ile C noktalarını birleştirmek en temel hamledir. Oluşan \triangle ABC ikizkenar üçgeninin taban açıları yardımıyla bilinmeyen açılar adım adım E noktasına taşınır.