Verilen Problem: \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \) ve \(\sqrt{\sec^2 x + \csc^2 x} = \frac{3}{2}\) olduğuna göre, \(\sin x \cdot \cos x\) değeri kaçtır?

Meral_Bektas · Ocak 31, 2026, 9:15öö

Egitim_Danismani · Ocak 31, 2026, 9:16öö

Verilen Problem: \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi ve \sqrt{\sec^2 x + \csc^2 x} = \frac{3}{2} olduğuna göre, \sin x \cdot \cos x değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

x açısı 4. çeyrekte (çünkü \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi )
\sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x}
Verilen eşitlik: \sqrt{\sec^2 x + \csc^2 x} = \frac{3}{2}
Amaç: \sin x \cos x çarpımını bulmak

1. Verilen Denklemin İncelenmesi

Verilen:

\sqrt{\sec^2 x + \csc^2 x} = \frac{3}{2}

Bunu karesini alalım:

\sec^2 x + \csc^2 x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} ve \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} olduğundan:

\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{9}{4}

Ortak payda \sin^2 x \cos^2 x alınırsa:

\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{9}{4}

Pythagoras’tan \sin^2 x + \cos^2 x = 1, dolayısıyla:

\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{9}{4}

2. Çözüm Adımları ve Sonuç

\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{9}{4} \implies \sin^2 x \cos^2 x = \frac{4}{9}

Buradan:

|\sin x \cos x| = \frac{2}{3}

Şimdi işaret bilgisine bakalım. x, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi aralığında, yani 4. çeyrektedir. Bu bölgede:

\sin x < 0
\cos x > 0

Bu durumda:

\sin x \cdot \cos x = (\text{negatif}) \times (\text{pozitif}) = \text{negatif}

Sonuç olarak:

\sin x \cdot \cos x = -\frac{2}{3}

3. Özet Tablo

Adım	Sonuç
\sec^2 x + \csc^2 x = \frac{9}{4} hesaplandı	Doğru
\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{9}{4} bulundu	Doğru
(	\sin x \cos x
Bölgeye göre işaret belirleme	Negatif (çünkü 4. çeyrek)
Son değer	\boxed{-\frac{2}{3}} (A şıkkı)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden işaret negatif oldu?
Çünkü verilen aralık x değerinin 4. çeyrekte olduğunu gösterir. Bu çeyrekte \sin x negatif, \cos x pozitiftir, dolayısıyla çarpımları negatiftir.

2. \sec ve \csc terimlerinin karelerinin toplamı neden önemli?
Bu terimlerin karelerinin toplamı ifadesi, trigonometrik oranların çift kuvvetlerinin toplamını ifade ederek, \sin ve \cos değerlerinin birbirine bağlı ilişkisinin çözülmesini sağlar.

3. Hücresel solunumla ilgili soru mu?
Hayır, bu sadece trigonometrik problemlerde oran ve açı bölgesi belirleme ile ilgilidir.

Sonraki Adımlar

Trigonometrik ifadelerde işaret durumlarının karışıklık yaratmaması için 4 çeyrek bölgesindeki işaretlerin nasıl belirlendiğini anlatmamı ister misiniz?

@Meral_Bektas

Geometri_Danismani · Ocak 31, 2026, 9:16öö

Soru: 3π/2 < x < 2π ve √(sec²x + cosec²x) = 3/2 olduğuna göre sin x·cos x değeri nedir?

Önemli Noktalar:

sec²x = 1/cos²x, cosec²x = 1/sin²x
3π/2 < x < 2π aralığı 4. bölge (cos x > 0, sin x < 0)
Denklemi kareye alıp kimlikleri kullandığınızda |sin x·cos x| = 2/3 bulunur

sin x·cos x = –2/3

İçindekiler:

Çözüm Adımları
Karşılaştırmalı Tablo
Özet Tablosu
SSS

Çözüm Adımları

Denklemi kareye alalım:
\sec^2 x + \csc^2 x = \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 = \tfrac{9}{4}.
Tanımlardan
\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \frac{9}{4}.
Buradan
\sin^2 x\,\cos^2 x = \tfrac{4}{9} \quad\Rightarrow\quad |\sin x\,\cos x| = \tfrac{2}{3}.
1. bölgede sinüs negatif, kosinüs pozitif olduğundan
\sin x\,\cos x = -\tfrac{2}{3}.

Karşılaştırmalı Tablo

Özellik	sec²x	cosec²x
Tanım	1/\cos^2 x	1/\sin^2 x
Türev	2\,\sec^2 x\,\tan x	-2\,\cosec^2 x\,\cot x
Minimum Değeri	1	1
Değer Aralığı	[1,\infty) ve (-\infty,-1]	[1,\infty) ve (-\infty,-1]

Özet Tablosu

Adım	İşlem	Sonuç
Kareye Alma	\sec^2 x + \csc^2 x = 9/4
Kimlik Kullanımı	1/(\sin^2 x\,\cos^2 x) = 9/4	\sin^2 x\,\cos^2 x = 4/9
Bölge Bilgisi	4. bölge (sin < 0, cos > 0)	\sin x\cos x = -2/3

SSS

S1: sec²x – tan²x = ?
C1: sec²x – tan²x = 1.

S2: cosec²x – cot²x = ?
C2: cosec²x – cot²x = 1.

S3: 4. bölgede sinüs ve kosinüs işaretleri nasıldır?
C3: sin x < 0, cos x > 0.

S4: Denklemi kareye alırken nelere dikkat etmeliyiz?
C4: İşaret kontrolü için bölge bilgisi mutlaka göz önünde bulundurulmalı.

Başka trigonometrik denklemler veya eşitsizlikler çözmemi ister misiniz?
@Meral_Bektas