Verilen parçalı fonksiyonu cebirsel ifadenin grafik çizim

YKS TYT YKS Geometri
1

IMG_5856
IMG_5856720×1281 54.7 KB

2

Verilen parçalı fonksiyonun grafiğini çiziniz

Answer:

Fonksiyon f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} şu şekilde tanımlanmış:
f(x)=\begin{cases} x, & x\le 1,\\[4pt] 4, & 1<x<2,\\[4pt] 1-x, & x\ge 2. \end{cases}

Aşağıda adım adım nasıl çizeceğinizi ve önemli noktaları veriyorum.

  1. Bölüm — x\le 1 için f(x)=x
  • Bu kısım eğrisi y=x doğrusu boyunca gider (45° eğimli düz çizgi).
  • Tüm x\le 1 için noktalar grafikte bulunur; özellikle x=1 için f(1)=1 dahildir. Yani (1,1) kapalı (dolgu) nokta olarak gösterilir.
  • Örnek: f(0)=0,\; f(-2)=-2.
  1. Bölüm — 1<x<2 için f(x)=4
  • Bu kısım yatay bir doğru: y=4.
  • Tanım aralığı sadece açık aralık olduğundan uç noktalarda değer yoktur: (1,4) ve (2,4) açık (boş) noktalardir.
  • Bu yatay parça x=1 ile x=2 arasında, bu iki uç dışında kalan tüm x değerleri için sabit y=4 verir (örneğin x=1.5 için f(1.5)=4).
  1. Bölüm — x\ge 2 için f(x)=1-x
  • Bu kısım eğrisi y=1-x, yani eğimi -1 olan bir doğru (azalan).
  • x=2 için f(2)=1-2=-1 ve eşitlik olduğu için (2,-1) kapalı (dolgu) noktadir.
  • Bu doğru x\ge 2 boyunca sağa doğru devam eder (ör. f(3)=-2,\; f(4)=-3).

Önemli uç noktalar ve durumlar (özet tablo):

Aralık Formül Başlangıç/uç noktalar Nokta durumu
x\le 1 f(x)=x (1,1) kapalı (dahil)
1<x<2 f(x)=4 (1,4) ve (2,4) her ikisi açık (dahil değil)
x\ge 2 f(x)=1-x (2,-1) kapalı (dahil)

Grafik çizerken adımlar:

  • Koordinat sisteminde birkaç referans noktası işaretleyin: (1,1), (1,4), (2,4), (2,-1). (1,1) ve (2,-1) dolu noktalar; (1,4) ve (2,4) boş noktalar olarak çizilmeli.
  • Sol tarafta tüm x\le1 için y=x doğrusunu çizin; bu doğrunun (1,1) noktasında bittiğini ve oranın kapalı olduğunu gösterin.
  • x=1 ile x=2 arasında yatay y=4 çizgisi çizin; uçlarda küçük boş daireler koyun.
  • Sağ tarafta x\ge2 için y=1-x doğrusunu çizin; bu doğrunun (2,-1) noktasında başladığını (kapalı nokta) gösterin ve sağa doğru devam ettirin.

Grafikte gözlenecek keskin özellikler:

  • x=1 noktasında fonksiyon değeri 1 (soldan gelen değer) iken sağ tarafta ara parça y=4 için x=1 dahil olmadığından orada açık nokta olur — yani f bu noktada atlamalıdır (sıçrama).
  • x=2 noktasında da bir atlama vardır: soldan y=4 (ama açık), sağdan y=-1 (kapalı ve fonksiyonun gerçek değeri -1).

Kısa örnek değerler:

  • f(0)=0 (ilk parçadan),
  • f(1)=1 (ilk parçadan, dahil),
  • f(1.5)=4 (orta parçadan),
  • f(2)=-1 (son parçadan, dahil),
  • f(3)=-2.

Özet: Grafiği çizerken üç ayrı parça — sol eğimli y=x (soldan sonsuza kadar), orta yatay y=4 (1 ile 2 arası açık uçlu), sağda azalan y=1-x (2 ve sonrası dahil) — ve uç noktaların açık/kapalı olmasına dikkat edin. Başarıyla çizdiğinizde grafikte (1,1) ve (2,-1) dolu; (1,4) ve (2,4) boş noktalar olarak görünecektir.

Kolay gelsin! @Afrawpn

3

Verilen parçalı fonksiyonu cebirsel ifadenin grafik çizimi

İçindekiler

  1. Parçalı Fonksiyonun Tanımı
  2. Adım Adım Grafik Çizimi
    2.1. Bölüm I: x\le1 için y=x
    2.2. Bölüm II: 1<x<2 için y=4
    2.3. Bölüm III: x\ge2 için y=1-x
  3. Açık ve Kapalı Noktaların Gösterimi
  4. Grafiğin Tamamı ve Özellikleri
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. Parçalı Fonksiyonun Tanımı

Verilen fonksiyon tanımı:
f(x)= \begin{cases} x, & x \le 1,\\ 4, & 1 < x < 2,\\ 1 - x, & x \ge 2. \end{cases}

  • Bölüm I: (-\infty,1] aralığında lineer fonksiyon y=x.
  • Bölüm II: (1,2) aralığında sabit fonksiyon y=4.
  • Bölüm III: [2,\infty) aralığında lineer fonksiyon y=1-x.

2. Adım Adım Grafik Çizimi

Grafik çizilirken her parçayı ayrı ayrı ele alırız.

2.1. Bölüm I: x\le1 için y=x

  1. Koordinat düzleminin sol tarafında, x eksenine paralel eşit aralıklı işaretler çizin.
  2. Fonksiyonu çizmek için birkaç önemli nokta belirleyin:
    • x=0\;\Rightarrow\;y=0
    • x=1\;\Rightarrow\;y=1 (bu nokta kapalı dolu daire ile işaretlenecek)
  3. Bu iki veya daha fazla noktayı birleştirerek 45^\circ eğimli doğruyu çizin.

2.2. Bölüm II: 1<x<2 için y=4

  1. Yatay çizginin y=4 değerine karşılık gelen noktasından başlayın.
  2. x=1 ve x=2 aralığında yatay bir doğru parçası çizin.
  3. Uç noktalar açık daire (boş nokta) olacak:
    • (1,4) açık
    • (2,4) açık

2.3. Bölüm III: x\ge2 için y=1-x

  1. x=2 noktasında y=1-2=-1 sonucunu bulun ve kapalı daire ile işaretleyin: (2,-1).
  2. Doğrunun eğimi -1 olduğundan, sağa gittikçe grafik aşağı doğru iner.
  3. Birkaç ek nokta alarak (örneğin x=3\rightarrow y=-2, x=4\rightarrow y=-3) çizgiyi çizin.

3. Açık ve Kapalı Noktaların Gösterimi

  • Kapalı daire (●): Nokta grafik parçasına dahildir.
  • Açık daire (○): Nokta grafik parçasına dahil değildir.
Nokta Koordinat Gösterim Dahil mi?
Bölüm I uç (1,1) ● (dolu) Evet
Bölüm II uç (1,4) ○ (boş) Hayır
Bölüm II uç (2,4) ○ (boş) Hayır
Bölüm III (2,-1) ● (dolu) Evet

4. Grafiğin Tamamı ve Özellikleri

  • Süreklilik

    • x=1 noktasında fonksiyon y=x parçası (1,1) ile biter, sonraki parça (1,4) noktası dahil olmadığından kopuk.
    • x=2 noktasında y=4 parçasının açık uçları ve y=1-x parçasının dolu noktası (2,-1) arasında büyük bir atlama vardır.

  • Eğim ve Davranış

    • x\le1: Eğimi +1 (artan doğru).
    • 1<x<2: Eğimi 0 (yatay doğru).
    • x\ge2: Eğimi -1 (azalan doğru).

5. Özet Tablo

Bölüm Aralık Fonksiyon Eğim Uç Nokta Dahil mi?
I (-\infty,1] y=x +1 (1,1) Evet
II (1,2) y=4 0 (1,4), (2,4) Hayır
III [2,\infty) y=1-x -1 (2,-1) Evet

6. Sonuç

Grafiği çizmek için üç ayrı parça çizilir, açık ve kapalı noktalar doğru işaretlenir. Böylece f(x) fonksiyonunun tam şekli elde edilir. @Afrawpn