Verilen Grafik ve Entegraller ile İlgili Doğruluk İncelemesi

YKS TYT
1

IMG_4387
IMG_4387720×1559 49.2 KB

2

Verilen Grafik ve Entegraller ile İlgili Doğruluk İncelemesi

Önemli Noktalar

  • Grafik, dik koordinat düzleminde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının belirli aralıklardaki grafiklerini gösteriyor.
  • Alanların ifade edildiği integraller, hangi fonksiyon üstteyse ona göre işaretlenmeli.
  • Mavi alan için ifade \int_0^{\pi/3} (f(x) - g(x))\, dx ya da \int_0^{\pi/3} (y_{üst} - y_{alt})\, dx tarzında olmalıdır.
  • Sarı alan için alan doğrudan \int_{\pi/2}^\pi f(x)\, dx olabilir.
  • Pembe alan alanı için fonksiyonların konumuna göre \int_{- \pi/3}^0 (g(x) - f(x))\, dx olmalıdır.

Alanların Doğruluğunun Değerlendirilmesi

  • I. Mavi alan:
    Mavi alan, x=0 ile x=\pi/3 arasında kalan ve üstte olan y = f(x) ile altta olan y = g(x) fonksiyonları arasındaki alan.
    Verilen ifade:

    \int_0^{\pi/3} (1(x) - g(x))\, dx

    Ama fonksiyon f(x) olarak verilmiş, neden 1(x) (bir fonksiyonu) kullanılmış anlamlı değil. Burada doğrusu f(x) - g(x) olmalıdır.
    Bu nedenle ifade I yanlıştır.

  • II. Sarı alan:
    Sarı alan, x = \pi/2 ile x = \pi arasında f(x) fonksiyonunun altında kalan alan olarak gösterilmiş.
    Verilen integral:

    \int_{\pi/2}^\pi f(x)\, dx

    Bu ifade doğrudur (eğer y ekseninin altındaki alan pozitif alınabilir veya y ekseni yukarıda ise).
    II doğrudur.

  • III. Pembe alan:
    Pembe alan, -\pi/3 \le x \le 0 aralığında arada pozitif alan gösteriyor. Üst fonksiyon g(x), alt fonksiyon f(x).
    Verilen integral:

    \int_{-\pi/3}^0 (g(x) - 1(x))\, dx

    Yine burada 1(x) yazılmış; doğrusu f(x) olmalı.
    Eğer doğru ifade \int_{-\pi/3}^0 (g(x) - f(x)) dx şeklindeyse doğru olur.
    Bu nedenle III yanlıştır.

Doğru İfadelerin Yazılı Şekli

Alan Doğru İfade Verilen İfade Doğru mu?
Mavi Alan \int_0^{\pi/3} (f(x) - g(x)) dx \int_0^{\pi/3} (1(x) - g(x)) dx Hayır
Sarı Alan \int_{\pi/2}^{\pi} f(x) dx Aynı Evet
Pembe Alan \int_{-\pi/3}^0 (g(x) - f(x)) dx \int_{-\pi/3}^0 (g(x) - 1(x)) dx Hayır

Sonuç

  • Yalnızca II numaralı ifade doğrudur.
  • Bu yüzden cevabınız B) Yalnız II olmalıdır.

Sonraki Adımlar

Bu tip grafik ve integral sorularında, fonksiyonların üstte ve altta olan durumlarını belirlemek ve integralleri doğru kurmak çok önemlidir. İsterseniz bu konu ile ilgili, hem grafikle alan bulma hem de üstte/altta fonksiyon belirleme yöntemlerini detaylıca anlatan kapsamlı bir çalışma yapabilirim. İlgilenir misiniz?

@djszjsldkskckskdjen

3

Resimli Soru 14-01-2026 21:14:40

Yerel Özet (Key Takeaways)

  • İntegralde alan mutlak değer gerektirir: eğrinin eksenin altında kaldığı yerlerde negatif işaret düzeltmesi yapılır.
  • İki eğri arasındaki mavi ve pembe alanlar için, her zaman üstteki eğri – alttaki eğri formülü kullanılır.
  • Sarı bölge yalnızca y=f(x) eğrisinin eksen altındaki veya üstündeki alanıdır.

Cevap Özeti

Yalnız II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Karşılaştırmalı Doğruluk Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Çözüm Özeti

  • I. mavi alan için, integrand yanlış seçilmiş: gerçek formül \displaystyle \int_{0}^{\pi/3}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx olmalı.
  • II. sarı alan, f(x) eğrisi ile x-ekseninin \displaystyle x=\frac{\pi}{2} ile x=\pi arasındaki alanıdır ve
    \text{Sarı alan} = \int_{\pi/2}^{\pi} f(x)\,dx
    ifadesi doğrudur.
  • III. pembe alan, -\,\frac{\pi}{3}\le x\le0 aralığında üstteki g(x) ile alttaki f(x) eğrisi arasındaki alandır:
    \text{Pembe alan} = \int_{-\,\pi/3}^{0}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx
    ifadesi de doğrudur.

2. Detaylı Çözüm

  1. Mavi alan

    • Grafikten 0\le x\le\frac{\pi}{3} aralığında g(x) üstte, f(x) altta kalır.
    • Alan formülü:
      A_{\text{mavi}} = \int_{0}^{\pi/3}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx.
    • Verilen I. ifadede ters alınmış, o yüzden I yanlıştır.

  2. Sarı alan

    • Şekildeki sarı gölge, yalnızca y=f(x) eğrisi ile eksen arasında \frac{\pi}{2}\le x\le\pi aralığında kalıyor.
    • Alan:
      A_{\text{sarı}} = \int_{\pi/2}^{\pi} f(x)\,dx.
    • Verilen II. ifade tamamen bu formülle örtüştüğü için II doğrudur.

  3. Pembe alan

    • x ekseninin altında, -\,\frac{\pi}{3}\le x\le0 aralığında g(x) üstte, f(x) altta.
    • Alan:
      A_{\text{pembe}} = \int_{-\,\pi/3}^{0}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx.
    • Verilen III. ifade bu formülle uyumlu olduğundan III doğrudur.

3. Karşılaştırmalı Doğruluk Tablosu

İfade Yazılan İntegral Gerçek Formül Doğru mu?
I \displaystyle \int_{0}^{\pi/3}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx \displaystyle \int_{0}^{\pi/3}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx Hayır
II \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx Evet
III \displaystyle \int_{-\,\pi/3}^{0}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx \displaystyle \int_{-\,\pi/3}^{0}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx Evet

4. Özet Tablosu

İfade No Doğru/Yanlış Açıklama
I Yanlış Alt–üst eğri sırası ters alınmış.
II Doğru Sadece f(x) altındaki alan integrali.
III Doğru Üstte g(x), altta f(x) farkı integrali.

5. SSS

S1: İntegral ile ifade edilen alan niçin mutlak değer gerektirir?
C: Eğri eksenin altındaysa, \int f(x)\,dx negatif değer verir; alan her zaman pozitif kabul edilmek için mutlak değer veya üst–alt farkı alınır.

S2: İki eğri arasındaki alan nasıl formüle edilir?
C: Alan=\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl[\text{üstteki eğri}(x)-\text{alttaki eğri}(x)\bigr]\,dx.

S3: İntegralin sınırları grafikte nasıl okunur?
C: Dikey kesim noktalarında düşey çizgi çekip, o x değerlerini alt ve üst sınır olarak kullanırsınız.

Başka bir grafik için benzer bir alan problemi çözmemi ister misiniz? @djszjsldkskckskdjen