Soru:
Yukarıda verilen egitliklere göre x + y işleminin
sonucu kaçtır?
A) 14
V30- /y5
B) 34
C) 86
D) 106
Soru Fotoğrafı:
Verilen eşitliklere göre x + y işleminin sonucu kaçtır?
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Kareköklü bir ifadeyi kökten kurtarmak için her iki tarafın karesi alınır:
\sqrt{a} = b \implies a = b^2
(\sqrt{\sqrt{x}})^2 = \sqrt{x}
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — x Değerini Bulma
İlk eşitlikte \sqrt{\sqrt{x}} = 3 verilmiş. Her iki tarafın karesini alalım:
(\sqrt{\sqrt{x}})^2 = 3^2
\sqrt{x} = 9
Şimdi tekrar her iki tarafın karesini alarak x’i yalnız bırakalım:
(\sqrt{x})^2 = 9^2
x = 81
Adım 2 — y Değerini Bulma
İkinci eşitlikte \sqrt{30 - \sqrt{y}} = 5 verilmiş. Her iki tarafın karesini alalım:
(\sqrt{30 - \sqrt{y}})^2 = 5^2
30 - \sqrt{y} = 25
Denklemi düzenlediğimizde:
30 - 25 = \sqrt{y}
5 = \sqrt{y}
Her iki tarafın tekrar karesini alalım:
5^2 = (\sqrt{y})^2
y = 25
Adım 3 — x + y Toplamını Hesaplama
Bulduğumuz değerleri toplayalım:
x + y = 81 + 25
x + y = 106
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 106 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Karekök İçinde Karekök
- [Tanım:] İç içe köklerde işlem yaparken en dıştaki kökten başlayarak içeriye doğru kare alma işlemi uygulanır.
- [Bu problemde:] \sqrt{\sqrt{x}} ifadesinde x’e ulaşmak için iki kez kare alma işlemi uyguladık.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Kare Almayı Unutmak
- [Yanlış:] \sqrt{x} = 9 bulup x = 9 demek.
- [Doğru:] Kökten kurtulmak için sayının karesini alarak x = 81 sonucuna ulaşılmalıdır.
- [Neden Yanlış:] Kök dışındaki sayı, kök içindeki sayının değerine değil, kareköküne eşittir.
Kareköklü denklemlerde iç içe kökler bazen kafa karıştırıcı olabilir. Bu çözümde olduğu gibi adım adım gitmek her zaman en güvenli yoldur.
Bu tür iç içe köklü bir soru daha çözerek pekiştirmek ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Verilen eşitliklere göre x + y işleminin sonucunun adım adım açıklaması
Görseldeki soruda bize iki farklı denklem verilmiş ve bu denklemlerden x ve y değerlerini bularak toplamamız isteniyor. Kareköklü bir ifadeyi kökten kurtarmanın en temel yolu, her iki tarafın karesini almaktır.
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Kareköklü ifadelerde şu kuralı uygularız:
\sqrt{a} = b \implies a = b^2
Yani bir sayının karekökü bir değere eşitse, o sayının kendisi bu değerin karesidir.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — x Değerini Bulma
İlk denklemimiz: \sqrt{\sqrt{x}} = 3
- Birinci Kare Alma: En dıştaki kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alırız.
(\sqrt{\sqrt{x}})^2 = 3^2 ise \sqrt{x} = 9 olur. - İkinci Kare Alma: x’i tamamen yalnız bırakmak için tekrar kare alırız.
(\sqrt{x})^2 = 9^2 ise x = 81 bulunur.
Adım 2 — y Değerini Bulma
İkinci denklemimiz: \sqrt{30 - \sqrt{y}} = 5
- Dış Kökten Kurtulma: Her iki tarafın karesini alalım.
30 - \sqrt{y} = 5^2
30 - \sqrt{y} = 25 - Düzenleme: \sqrt{y} ifadesini karşıya, 25’i bu tarafa atalım.
30 - 25 = \sqrt{y}
5 = \sqrt{y} - Son Kare Alma: Her iki tarafın karesini alarak y’ye ulaşalım.
5^2 = y ise y = 25 bulunur.
Adım 3 — Final Hesaplama
Bizden istenen x + y toplamıydı:
x + y = 81 + 25 = 106
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 106 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Tam Kare Sayılar
- [Tanım:] Bir tam sayının karesi olan sayılardır (9, 25, 81 gibi).
- [Bu problemde:] x ve y değerlerini bulurken 9^2 ve 5^2 gibi tam kare işlemleri kullandık.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Kökten Çıkarmayı Karıştırmak
- [Yanlış:] \sqrt{y} = 5 olduğunda y = \sqrt{5} demek.
- [Doğru:] Kökün içindeki sayı, dışarıdaki sayının karesi olmalıdır. Yani y = 5^2 = 25.
- [Neden Yanlış:] Eşitliğin her iki tarafına da aynı işlem (kare alma) uygulanmalıdır.
Bu çözümde takıldığın veya daha detaylı açıklamamı istediğin bir yer var mı? Benzer bir “iç içe kök” sorusu ile kendini denemek ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Verilen Kareköklü Eşitliklerin Adım Adım Açıklamalı Çözümü
Merhaba Defne! Bu soruyu senin için en basit haliyle, sanki bir ders anlatıyormuş gibi adım adım parçalara ayırarak açıklayacağım. Bu soruda temel mantığımız, “karekökten kurtulmak için kare almak” üzerine kuruludur.
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Karekök simgesi (\sqrt{}) bir sayıyı hapseder. Onu oradan çıkarmak için her iki tarafın karesini alırız:
\sqrt{\text{Kutu}} = \text{Sayı} \implies \text{Kutu} = \text{Sayı}^2
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — x Değerini Bulalım
İlk denklemde iç içe iki kök var: \sqrt{\sqrt{x}} = 3
- En dıştaki kökü yok edelim: Her iki tarafın karesini aldığımızda en dıştaki kök gider.\sqrt{x} = 3^2 \implies \sqrt{x} = 9
- x’i yalnız bırakalım: Kalan son kökten kurtulmak için bir kez daha kare alalım.x = 9^2 \implies \mathbf{x = 81}
Adım 2 — y Değerini Bulalım
İkinci denklem: \sqrt{30 - \sqrt{y}} = 5
- Dıştaki büyük kökü yok edelim: Her iki tarafın karesini alalım. Kökün içindeki ifade olduğu gibi dışarı çıkar.30 - \sqrt{y} = 5^2 \implies 30 - \sqrt{y} = 25
- Sayıları bir tarafa toplayalım: 30’dan hangi sayıyı çıkarırsak 25 kalır? Tabii ki 5.30 - 25 = \sqrt{y} \implies \sqrt{y} = 5
- y’yi bulalım: Kökten kurtulmak için son kez kare alalım.y = 5^2 \implies \mathbf{y = 25}
Adım 3 — Toplama İşlemi
Soru bizden x + y toplamını istemişti. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
x + y = 81 + 25 = 106
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 106 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Kare Alma İşlemi
- [Tanım:] Bir sayının kendisiyle çarpılmasıdır.
- [Bu problemde:] 3 \times 3 = 9, 9 \times 9 = 81 ve 5 \times 5 = 25 işlemlerini yaparak köklerden kurtulduk.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Kök Sayısı Kadar Kare Almamak
- [Yanlış:] \sqrt{\sqrt{x}} = 3 işleminde sadece bir kere kare alıp bırakmak.
- [Doğru:] İç içe kaç tane kök varsa, bilinmeyene ulaşana kadar o kadar kez kare alma işlemi tekrarlanmalıdır.
Bu adım adım anlatımda kafana yatmayan, “burası neden böyle oldu” dediğin bir nokta var mı? Eğer anladıysan, pekiştirmek için sana çok benzer bir soru sorabilirim, ne dersin?