Verilen Denklem ve Pozitif En Küçük x Açısının Hesaplanması

YKS TYT
1

IMG_6952
IMG_6952720×960 28.3 KB

2

Verilen Denklem ve Pozitif En Küçük x Açısının Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: \frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \sqrt{3}
  • Bu ifade, \tan toplam formülüne dönüşebilir: \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
  • Soruda x’in pozitif ve en küçük değeri isteniyor
  • Trigonometrik fonksiyonlarda çözüm açılarının periyodu unutulmamalıdır

Verilen denklemde,

\frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \sqrt{3}

Bu ifadenin, \tan toplam ya da fark formülüne benzediği görülür. Aslında şudur:

\tan( \frac{\pi}{3} ) = \sqrt{3}

Ek olarak, şu bağlantı vardır:

\tan( A + B ) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Burada A = 45^\circ = \frac{\pi}{4} ve B = 3x olarak düşünürsek:

\frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \tan (45^\circ + 3x)

Çünkü \tan 45^\circ = 1.

O halde denklem:

\tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3}

Yani

45^\circ + 3x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})

Buradan

3x = 15^\circ + k \cdot 180^\circ

Pozitif en küçük açı için k=0 alınır:

3x = 15^\circ \implies x = 5^\circ

Sonuç:

x = 5 derece en küçük pozitif açı değeridir.

İçindekiler

  1. Denklemin Analizi ve Çözüm Yöntemi
  2. Periyodiklik ve Ek Çözümler
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Denklem Analizi ve Çözüm Yöntemi

Denklemdeki ifadenin \tan toplam formülü olduğunu belirlemek kritik adımdır.

\frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \tan(45^\circ + 3x)

Buradan \tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3} = \tan 60^\circ eşitliği bulunur.
Hesaplama:

45^\circ + 3x = 60^\circ + k \times 180^\circ

Pozitif en küçük x için k=0 alınır.

:light_bulb: Pro İpucu: Bu tür ifadelerde hemen \tan toplam formülünü hatırlamak işleri kolaylaştırır ve zaman kazandırır.

Periyodiklik ve Ek Çözümler

\tan \theta fonksiyonunun periyodu 180^\circ’dir. Bu yüzden tüm çözümler:

45^\circ + 3x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ

Buradan:

x = \frac{15^\circ + k \cdot 180^\circ}{3}

Bu çözüm seti içinde en küçük pozitif açı k=0 için x=5^\circ.
Ek pozitif açılar x=65^\circ, 125^\circ, ... şeklindedir.

:warning: Uyarı: Soruda “en küçük pozitif” açı istendiği için diğer çözümler dikkate alınmaz.

Özet Tablo

Unsur Detay
Denklem \frac{1 + \tan 3x}{1 - \tan 3x} = \sqrt{3}
Formül dönüşümü \tan(45^\circ + 3x) = \sqrt{3}
Temel açı 45^\circ + 3x = 60^\circ
Çözüm x = 5^\circ
Periyot \tan için 180°
Pozitif en küçük açı 5°

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 45^\circ + 3x şeklinde yazdık?
Çünkü \frac{1 + \tan a}{1 - \tan a} = \tan(45^\circ + a) formülü kullanılır. Burada a = 3x.

2. Farklı k değerleri için ne olur?
Her k için x farklı pozitif açılar verir. En küçüğü k=0 durumundaki çözümdür.

3. Eğer \sqrt{3} yerine farklı bir değer olsaydı?
Doğrudan \tan \theta = \text{değer} o şekilde çözüm yapılır, her zaman periyot göz önünde bulundurulur.

Sonraki Adımlar

Başka trigonometrik denklem örnekleri ister misiniz? Yoksa bu formülleri kullanarak uygulamalı problem çözümü yapalım mı?

@zeynep212

3

Denklemini sağlayan en küçük pozitif x açısı kaç derecedir?

Temel Çıkarımlar

  • LHS (1 + \tan3x)/(1 - \tan3x) ifadesi, \tan(45^\circ + 3x) formuna dönüştürülebilir.
  • \tan60^\circ = \sqrt{3} eşitliği, açı denkliğini verir.
  • Genel çözüm x = 5^\circ + k\cdot60^\circ olup en küçük pozitif değer 5^\circ’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. Sıkça Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Aşağıdaki tanımadan yararlanırız:
    \tan\bigl(45^\circ + \theta\bigr) = \frac{\tan45^\circ + \tan\theta}{1 - \tan45^\circ\,\tan\theta} = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}.
  2. Verilen denkleme uygulayalım:
    \frac{1 + \tan3x}{1 - \tan3x} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \tan\bigl(45^\circ + 3x\bigr) = \tan60^\circ.
  3. Genel açı denklik kuralına göre:
    45^\circ + 3x = 60^\circ + k\cdot180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 3x = 15^\circ + k\cdot180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 5^\circ + k\cdot60^\circ.
  4. En küçük pozitif çözüm için k=0 alınır ve
    x = 5^\circ.

Özet Tablosu

Adım Açıklama
Dönüşüm (1+\tan3x)/(1-\tan3x)=\tan(45^\circ+3x) formuna dönüştürüldü.
Açı Denklik Kuralı \tan(45^\circ+3x)=\tan60^\circ => 45^\circ+3x=60^\circ+k\cdot180^\circ.
Genel Çözüm x=5^\circ + k\cdot60^\circ
En Küçük Pozitif Çözüm k=0 için x=5^\circ

Sıkça Sorulan Sorular

  1. S: Genel çözüm ifadesindeki k nasıl seçilir?
    C: En küçük pozitif çözüm için k=0 alınır. Farklı k değerleri ek açısal çözümler verir.
  2. S: Bu yöntemi hangi durumlarda kullanırım?
    C: (1\pm\tan\theta)/(1\mp\tan\theta) türü ifadeleri \tan(45^\circ\pm\theta) olarak dönüştürmek için.
  3. S: Diğer trigonometrik fonksiyonlarla benzer dönüşüm var mı?
    C: Evet. Örneğin \tan(A\pm B), \sin(A\pm B) ve \cos(A\pm B) toplam fark formüllerini kullanabilirsiniz.

Başka trigonometrik denklemlerle ilgili örnek çözümler görmek ister misiniz?
@zeynep212