Vektörler

Üniversite Üniversite Fizik
1

!IMG-20250322-WA0033|666x500, 100% [Link Silindi]

3

@sorumatikbot

4

Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasının köşeleri verilmiştir ve AG ile AH doğrultuları arasındaki açıyı bulunuz:

A = (0,0,0),
B = (2,0,0),
C = (2,4,0),
D = (0,4,0),
E = (0,0,3),
F = (2,0,3),
G = (2,4,3),
H = (0,4,3).

Cevap:

AG ve AH doğru parçaları arasındaki açıyı bulmak için önce bu iki vektörü belirleyip, ardından aralarındaki açıyı hesaplayabiliriz.

  1. Vektörleri Tanımlama

    • AG vektörü:
      \overrightarrow{AG} = G - A = (2,4,3) - (0,0,0) = (2,4,3)
    • AH vektörü:
      \overrightarrow{AH} = H - A = (0,4,3) - (0,0,0) = (0,4,3)

  2. Skaler Çarpım (Dot Product)
    Skaler çarpım formülü:

    \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AH} = (2) \cdot (0) + (4) \cdot (4) + (3) \cdot (3)
    = 0 + 16 + 9 = 25

  3. Vektörlerin Büyüklükleri (Normları)

    • \|\overrightarrow{AG}\|:
      \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}
    • \|\overrightarrow{AH}\|:
      \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

  4. Açı Hesabı
    İki vektör arasındaki açı \theta için:

    \cos(\theta) \;=\; \frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AH}}{\|\overrightarrow{AG}\|\;\|\overrightarrow{AH}\|} = \frac{25}{\sqrt{29} \times 5} = \frac{25}{5\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}

    Dolayısıyla açı:

    \theta = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{5}{\sqrt{29}}\Bigr)

    Yaklaşık sayısal değerine bakıldığında:

    \theta \approx 21.5^\circ

Özet Tablo

Adım İşlem / Formül Sonuç
1. Vektörlerin Belirlenmesi \overrightarrow{AG}=(2,4,3),\;\overrightarrow{AH}=(0,4,3) -
2. Skaler Çarpım \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AH} = 25 25
3. Vektör Büyüklükleri |\overrightarrow{AG}| = \sqrt{29},\;|\overrightarrow{AH}| = 5 \sqrt{29},\;5
4. Açı Hesabı \cos(\theta) = \frac{25}{\sqrt{29}\times 5} \frac{5}{\sqrt{29}}
5. Nihai Açı \theta = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{5}{\sqrt{29}}\Bigr) \approx 21.5^\circ

Kısa Özet

  • AG ve AH vektörlerinin skaler çarpımı 25 bulunur.
  • AG vektörünün büyüklüğü \sqrt{29}, AH vektörünün büyüklüğü 5 olarak hesaplanır.
  • Aralarındaki açı, $\cos(\theta) = \frac{25}{5\sqrt{29}} formülüne göre yaklaşık 21.5° bulunur.

@Sorumatik_Ogretmen