Ve SORU 3: Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz

YKS TYT
1

Soru:
ve SORU 3: Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
a)

ınt (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) , dx

b)

ınt \left(\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2} \right) , dx

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
a)

ınt_1^{2} x^{\pi - 1} , dx

b)

ınt_2^{3} e^{x - 1} , dx

c)

ınt_0^{\pi} x^{\pi} , dx

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli699×1024 47.8 KB

2

ve SORU 3: Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Genel integral formülü: \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
  • Üstel fonksiyon integrali: \int e^{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

a) \int_1^{2} x^{\pi - 1} \, dx

Adım 1 — İntegrali yaz

\int_1^{2} x^{\pi - 1} \, dx

Adım 2 — Integral formülünü kullan

\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Burada n = \pi - 1 , o halde integral:

\int x^{\pi - 1} dx = \frac{x^{\pi}}{\pi}

Adım 3 — Sınırları uygula

\left[ \frac{x^{\pi}}{\pi} \right]_1^{2} = \frac{2^{\pi}}{\pi} - \frac{1^{\pi}}{\pi} = \frac{2^{\pi} - 1}{\pi}

b) \int_2^{3} e^{x - 1} \, dx

Adım 1 — İntegrali yaz

\int_2^{3} e^{x - 1} \, dx

Adım 2 — Karışık üs için integral

\int e^{ax + b} dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C

Burada a=1, b=-1, o halde integral:

\int e^{x - 1} dx = e^{x - 1}

Adım 3 — Sınırları uygula

\left[ e^{x-1} \right]_2^{3} = e^{3-1} - e^{2-1} = e^{2} - e^{1} = e^{2} - e

c) \int_0^{1} x^{\pi} \, dx

Adım 1 — İntegrali yaz

\int_0^{1} x^{\pi} \, dx

Adım 2 — Genel integral formülünü uygula

\int x^{\pi} dx = \frac{x^{\pi + 1}}{\pi + 1} + C

Adım 3 — Sınırları uygula

\left[ \frac{x^{\pi + 1}}{\pi + 1} \right]_0^{1} = \frac{1^{\pi + 1}}{\pi + 1} - \frac{0^{\pi + 1}}{\pi + 1} = \frac{1}{\pi + 1}

:white_check_mark: CEVAP:

  • a) \displaystyle \frac{2^{\pi} - 1}{\pi}
  • b) \displaystyle e^{2} - e
  • c) \displaystyle \frac{1}{\pi + 1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Ve SORU 3: Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Güç kuralı: \displaystyle \int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C ( a\neq -1 )
  • Üstel fonksiyon: \displaystyle \int e^{u}\,du=e^{u}+C

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İlk belirsiz integral:
İntegral:

\int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx

Birinci terim:

3\sqrt{x} = 3x^{1/2}
\int 3x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}

İkinci terim:

-2\sqrt[3]{x} = -2x^{1/3}
\int -2x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\frac{3}{2}x^{4/3}

Toplam (sabit C ekleyiniz):

2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

Adım 2 — İkinci belirsiz integral:
İntegral:

\int \big(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[3]{x^2}\big)\,dx

Birinci terim:

\sqrt[3]{x^3}=(x^3)^{1/3}=x
\int x\,dx
=\frac{x^{2}}{2}

İkinci terim:

-5\sqrt[3]{x^2}=-5x^{2/3}
\int -5x^{2/3}\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}
=-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}
=-5\cdot\frac{3}{5}\,x^{5/3}
=-3x^{5/3}

Toplam (sabit C ekleyiniz):

\frac{x^{2}}{2}-3x^{5/3}+C

Adım 3 — Birinci belirli integral:
İntegral:

\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Kurulum (antiderivatif):

\int x^{\pi-1}\,dx=\frac{x^{\pi}}{\pi}

Değerlendirme:

\left.\frac{x^{\pi}}{\pi}\right|_{1}^{2}
=\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}
=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}

Adım 4 — İkinci belirli integral:
İntegral:

\int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx

Kurulum (antiderivatif):

\int e^{x-1}\,dx=e^{x-1}

Değerlendirme:

\left.e^{x-1}\right|_{2}^{3}
=e^{3-1}-e^{2-1}
=e^{2}-e^{1}
=e^{2}-e

Adım 5 — Üçüncü belirli integral:
İntegral:

\int_{0}^{\pi} x^{\pi}\,dx

Kurulum (antiderivatif):

\int x^{\pi}\,dx=\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}

Değerlendirme:

\left.\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\right|_{0}^{\pi}
=\frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{0^{\pi+1}}{\pi+1}
=\frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Güç kuralı

  • Tanım: \displaystyle \int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C
  • Bu problemde: Bütün çok terimli güç ifadelerinin integrallerini almak için kullanıldı.

2. Üstel fonksiyon integrali

  • Tanım: \displaystyle \int e^{u}\,du=e^{u}+C
  • Bu problemde: e^{x-1} integrali doğrudan e^{x-1} olarak alındı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üsleri yanlış toplamak

  • Yanlış: \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}
  • Doğru: \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2}
  • Neden yanlış: İntegralde üs 1/2 ile 1 toplanmalı; sadece bölme hatası yapılıyor.
  • Düzeltme: Üsleri a+1 olarak ekleyip bölümü doğru yapın.

:cross_mark: Sabit faktörü unutmak

  • Yanlış: \int -2x^{1/3}\,dx = -\frac{2x^{4/3}}{4/3} sonra kısaltmayı yanlış yapmak.
  • Doğru: -2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}=-\frac{3}{2}x^{4/3}
  • Neden yanlış: Katsayıların çarpımı ve sadeleştirme atlanıyor.
  • Düzeltme: Katsayıyı antiderivatif formülüne çarpıp sonra sadeleştirin.

:white_check_mark: CEVAP:

  • \displaystyle \int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx=2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
  • \displaystyle \int \big(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[3]{x^2}\big)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-3x^{5/3}+C
  • \displaystyle \int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}
  • \displaystyle \int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx=e^{2}-e
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{\pi}\,dx=\frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?