\alpha ve \beta birer dar açı olmak üzere,
\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}
os\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}
olduğuna göre, ot\alpha dot \tan\beta çarpımı kaçtır?
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Değer Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende dar açının trigonometrik oranları Pisagor Teoremi (a^2 + b^2 = c^2) yardımıyla bulunur; \cot\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} ve \tan\theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} bağıntılarıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — \alpha Açısının Dik Üçgenini Oluşturma ve \cot\alpha Değerini Bulma
\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} verildiğinden, karşı dik kenar 1, hipotenüs \sqrt{10} birimdir. Pisagor bağıntısı ile komşu dik kenar bulunur:
\text{Komşu}^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2 \implies \text{Komşu}^2 = 10 - 1 = 9 \implies \text{Komşu} = 3
Buradan \cot\alpha oranı:
\cot\alpha = \frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} = \frac{3}{1} = 3
Adım 2 — \beta Açısının Dik Üçgenini Oluşturma ve \tan\beta Değerini Bulma
\cos\beta = \frac{2}{\sqrt{5}} verildiğinden, komşu dik kenar 2, hipotenüs \sqrt{5} birimdir. Karşı dik kenar Pisagor bağıntısı ile hesaplanır:
\text{Karşı}^2 + 2^2 = (\sqrt{5})^2 \implies \text{Karşı}^2 = 5 - 4 = 1 \implies \text{Karşı} = 1
Buradan \tan\beta oranı:
\tan\beta = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{1}{2}
Adım 3 — İstenen Çarpımı Hesaplama
Bulunan değerler çarpım ifadesinde yerine yazılır:
\cot\alpha \cdot \tan\beta = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
CEVAP: \frac{3}{2} (\cot\alpha \cdot \tan\beta = 1{,}5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Açıların dar açı (0^\circ < \alpha, \beta < 90^\circ) olarak belirtilmesi, tüm trigonometrik değerlerin pozitif (1. bölge) kalacağını garanti eder; bu sayede işaret analizi yapmadan doğrudan kenar uzunlukları üzerinden işlem yapılabilir.