ve 15 ile bölündüğünde 3 kalanını veren üç basamaklı bir doğal sayının en büyük değerini bulunuz.
Bölünebilme ve EKOK Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
A = x \cdot a + 3 = 15 \cdot b + 3 \implies A - 3 = \text{EKOK}(x, 15) \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(Not: Yüklediğin görselin sol tarafı kırpılmış olduğundan ilk sayı görünmemektedir. Soru bankalarındaki bu klasik soru kalıbında yer alan en yaygın değer 12 sayısıdır (“12 ve 15 ile bölündüğünde…”). Aşağıda bu standart kalıba göre adım adım çözüm yapılmış, diğer olası durumlar da adım sonunda belirtilmiştir.)
Adım 1 — Matematiksel Eşitliği Kurma
Aradığımız üç basamaklı doğal sayıya A diyelim. Sayı hem 12’ye hem de 15’e bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa:
A = 12a + 3 = 15b + 3 \quad (a, b \in \mathbb{N})
Her ifadeden 3 çıkarırsak, elde edilen (A - 3) sayısı hem 12’ye hem de 15’e kalansız bölünür:
A - 3 = \text{EKOK}(12, 15) \cdot k
Adım 2 — En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplama
12 ve 15 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
12 = 2^2 \cdot 3
15 = 3 \cdot 5
\text{EKOK}(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60
Demek ki (A - 3) sayısı 60’ın pozitif bir tam sayı katı olmalıdır.
Adım 3 — Üç Basamaklı En Büyük Katı Bulma
A’nın en büyük üç basamaklı sayı olması istendiğinden, 60’ın 1000’den küçük en büyük katını buluruz:
60 \cdot k < 1000
k = 16 \implies 60 \cdot 16 = 960
Buradan:
A - 3 = 960
Adım 4 — Sayının Kendisini Bulma
Kalanı tekrar ekleyerek A sayısına ulaşırız:
A = 960 + 3 = 963
- Diğer İhtimaller:
- Eğer sol tarafta başka bir sayı yoksa ve yalnızca “15 ile bölündüğünde” deniyorsa: 15 \cdot 66 + 3 = 993 olur.
- Eğer ilk sayı 9 ise: \text{EKOK}(9, 15) = 45 \implies 45 \cdot 22 + 3 = 993 olur.
- Eğer ilk sayı 8 ise: \text{EKOK}(8, 15) = 120 \implies 120 \cdot 8 + 3 = 963 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
963 (Soru “12 ve 15” için)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Kat (EKOK): Birden fazla sayıya aynı anda bölünebilen sayıları bulmak için EKOK kullanılır. Bölme işlemlerinde aynı kalan veriliyorsa, kalan sayıdan çıkarılarak tam kat üzerinden katlama yapılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: En büyük üç basamaklı sayı olan 999’a doğrudan 3 eklemek veya kalanı en başta sayıya ekleyip kat bulmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Önce ortak katı (60) büyütüp üç basamaklı en büyük sınıra taşımak, en son işlem olarak ortak kalanı (+3) eklemektir.
Kırpılan kısımdaki ilk sayı 12’den farklı bir sayıysa, o sayıyı belirterek çözümü hemen güncellememi ister misin?
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üç Basamaklı En Büyük Sayı (EKOK ile Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
A - 3 = \text{EKOK}(12, 15) \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(Not: Görselin başında kesilen sayı genel soru kalıbına göre 12 olarak alınmıştır.)
Adım 1 — EKOK Bulma
12 ve 15’in en küçük ortak katı hesaplanır:
\text{EKOK}(12, 15) = 60
Adım 2 — En Büyük Üç Basamaklı Değeri Hesaplama
60’ın 1000’den küçük en büyük tam katı bulunur ve kalan (3) eklenir:
60 \cdot 16 = 960
A = 960 + 3 = 963
(Eğer ilk sayı 12 değil de yalnızca “15 ile bölündüğünde” ise: 15 \cdot 66 + 3 = 993 olur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
963
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- EKOK ve Kalan: Ortak katın en büyük üç basamaklı katı bulunduktan sonra kalan sayı eklenir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Kalanı en başta sayıya ekleyip kat bulmaya çalışmak.
- Doğru Yaklaşım: Önce ortak katı (60) büyütmek, en son kalanı (+3) eklemektir.
Farklı bir sayıyla benzer bir alıştırma çözmek ister misin?