Uzun kenarı,kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 72 cm ise bu dikdörtgenin kısa kenarı kaç cm dır?
Uzun kenarı, kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin kısa kenarını bulma problemi çözümü:
Soru verileri:
- Dikdörtgenin çevresi: 72 cm
- Uzun kenarı, kısa kenarının 3 katı.
Adım Adım Çözüm:
-
Kısa kenara bir değişken verelim:
Kısa kenar = x cm -
Uzun kenar bu durumda:
Uzun kenar = 3x cm -
Dikdörtgenin çevre formülünü yazalım:
Çevre = 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})Bu durumda:
72 = 2 \times (x + 3x) -
Parantezi açarak denklemi çözmeye başlayalım:
72 = 2 \times 4x72 = 8x -
Her iki tarafı 8’e bölelim:
x = \frac{72}{8}x = 9 -
Sonuç:
Dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm’dir.
Kontrol:
- Kısa kenar: 9 cm
- Uzun kenar: 3 \times 9 = 27 cm
- Çevre: 2 \times (9 + 27) = 2 \times 36 = 72 cm.
Hesaplama doğru!
| Kenar Uzunluğu | Değer (cm) |
|---|---|
| Kısa Kenar | 9 cm |
| Uzun Kenar | 27 cm |
| Çevre | 72 cm |
Sonuç: Dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm’dir. @Azra2015
Uzun kenarı, kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 72 cm ise bu dikdörtgenin kısa kenarı kaç cm’dir?
Answer:
Table of Contents
1. Problem Tanımı
Bir dikdörtgenin kısa kenarına x diyelim. Bu dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu, kısa kenarının 3 katı olarak verilmiştir. Dikdörtgenin çevresi 72 cm olduğuna göre, kısa kenarın kaç cm olduğu sorulmaktadır.
2. Temel Kavramlar
- Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları paralel, iç açıları 90° olan dörtgen.
- Kısa Kenar (x): Dikdörtgenin en kısa kenarı.
- Uzun Kenar (3x): Kısa kenarın 3 katı olarak tanımlanan kenarı.
- Çevre (P): Dikdörtgenin etrafının toplam uzunluğu; formülü:P = 2(\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})
3. Adım Adım Çözüm
- Kısa kenarı x cm olarak tanımlayalım.
- Uzun kenarı 3x cm olarak tanımlayalım (çünkü “uzun kenar, kısa kenarının 3 katıdır” ifadesi verilmektedir).
- Dikdörtgenin çevresi formülü:\text{Çevre} = 2(\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})Burada çevre 72 cm olarak verildiği için:72 = 2(x + 3x)
- Denklemi çözerek x değerini bulalım:72 = 2(4x)72 = 8xx = 9
- Kısa kenar 9 cm, uzun kenar ise 3 × 9 = 27 cm bulunur.
4. Çözüm Özeti ve Tablo
| Adım | İşlem | Hesaplama |
|---|---|---|
| Kısa kenarı (x) | x olarak tanımlama | x |
| Uzun kenarı (3x) | 3 ile çarpma | 3x |
| Çevre formülü | P = 2(x + 3x) | — |
| Verilen değer | Çevre = 72 cm | 72 = 2(x + 3x) |
| Denklemi çözme | 72 = 2(4x) → 72 = 8x → x = 9 | x = 9 |
| Sonuç (kısa kenar) | Dikdörtgenin kısa kenarı | 9 cm |
| Sonuç (uzun kenar) | Kısa kenarın 3 katı | 27 cm |
5. Sonuç ve Kısa Özet
Bu dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm, uzun kenarı ise 27 cm bulunur. 72 cm çevre ölçüsüne sahip bir dikdörtgende, “uzun kenar, kısa kenarın 3 katı” koşulu sağladığında kısa kenar 9 cm olarak hesaplanır.
Uzun kenarı, kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 72 cm ise bu dikdörtgenin kısa kenarı kaç cm’dir?
Cevap:
Aşağıdaki içerikte, soruda belirtilen dikdörtgene dair önemli tanımlar, formüller, benzer örnekler, adım adım çözümler ve konuya dair daha geniş bir perspektifi bulabilirsiniz. Soru çok basit gibi görünse de, dikdörtgenler ve çevre hesabı matematiksel anlamda oldukça temeldir ve günlük hayatta sıkça karşımıza çıkar. Yine de tam olarak kavrayabilmek adına detaylıca ele alacağız.
İçindekiler
- Dikdörtgen Kavramına Giriş
- Dikdörtgenin Temel Özellikleri
- Dikdörtgende Çevre Hesabı
- Verilen Soruya Adım Adım Çözüm
- Soru Bağlamında Ek Örnekler
- Dikdörtgenin Günlük Hayattaki Rolü
- Kısa Kenara Dair Farklı Yaklaşımlar
- Önemli Noktalar ve İpuçları
- Tablo: Ölçüler, Formüller ve Özet Bilgiler
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
1. Dikdörtgen Kavramına Giriş
Dikdörtgen, geometri dünyasının en temel şekillerinden biridir. Dört köşesi ve dört kenarı bulunan bir dörtgendir. Bu dörtgenin en önemli özelliği, iç açılarının tamamının 90 derece olmasıdır. Bir dikdörtgenin uzun kenarı ve kısa kenarı mevcuttur, yani komşu kenar uzunlukları birbirinden farklı olabilir. Kenarlar genellikle şu şekilde adlandırılır:
- Kısa kenar: Bir dikdörtgende, uzunluğunun diğer kenara göre daha küçük olduğu kenara kısa kenar denir.
- Uzun kenar: Bir dikdörtgende, uzunluğunun diğerine oranla daha büyük olduğu kenara uzun kenar denir.
Örneğin, bir dikdörtgenin kısa kenarı “a” ile, uzun kenarı “b” ile gösterilebilir. Eğer soruda uzun kenarın kısa kenarın üç katı olduğu söylendiyse, “b = 3a” şeklinde bir ilişki yazarız.
2. Dikdörtgenin Temel Özellikleri
-
Karşılıklı Kenarları Eşittir
Bir dikdörtgende, karşılıklı iki kenar çifti birbirine eşittir. Yani kısa kenarların ikisi birbirine eşit; uzun kenarların ikisi de birbirine eşittir. -
Tüm Açılar 90 Derecedir
Dikdörtgenin her bir köşesi dik açıya sahiptir. Bu, onu karakteristik olarak “dik” dörtgen yapar. -
Geometrik Alan ve Çevre Formülleri
- Alan: A = \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar}
- Çevre: C = 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})
-
Dikdörtgen ve Kare İlişkisi
Aslında bir kare, kısa kenar ve uzun kenarı eşit olan özel bir dikdörtgendir. Ancak karede “kısa” ve “uzun” ayrımı yoktur.
Dikdörtgen, matematikte pek çok problemde karşımıza çıkan temel bir şekildir. Gündelik yaşamımızda kapılar, pencereler, masa yüzeyleri gibi birçok nesne dikdörtgen şeklinde olabilir.
3. Dikdörtgende Çevre Hesabı
Bir dikdörtgenin çevresi, tüm kenarlarının toplam uzunluğudur. İki kısa kenar (a) ve iki uzun kenar (b) bulunduğundan çevre formülü şöyle verilir:
\text{Çevre} = 2 \times (a + b)
Burada:
- a: Dikdörtgenin kısa kenarı
- b: Dikdörtgenin uzun kenarı
Sütun ya da satır karışmaması adına net bir formül olması, problemi çözmemizi kolaylaştırır. Soruda bize çevrenin toplamda 72 cm olduğu bilgisi verilmektedir, yani:
2 \times (a + b) = 72
Soruda ayrıca özel bir durumdan bahsedilir: Uzun kenar, kısa kenarın 3 katıdır. Yani b = 3a.
4. Verilen Soruya Adım Adım Çözüm
Soruyu bir kez daha anımsayalım:
- Bilgi 1: Dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 3 katıdır. Matematiksel ifade ile b = 3a.
- Bilgi 2: Dikdörtgenin çevresinin 72 cm olduğu belirtilir. Matematiksel ifade ile2 \times (a + b) = 72
- Amaç: Kısa kenarın kaç cm olduğunu bulmak.
Adım 1: Değişkenleri Belirleme
Kısa kenara a, uzun kenara b diyelim. Soruda “uzun kenar = kısa kenarın 3 katı” dendiği için:
b = 3a
Adım 2: Çevre Formülünü Yazma
Dikdörtgenin çevresi:
\text{Çevre} = 2 \times (a + b)
Verilen değeri yerine koyalım:
2 \times (a + b) = 72
Adım 3: Uzun Kenarı Yerine Koyma
“$b = 3a$” ifadesini çevre denkleminde kullanalım:
2 \times (a + 3a) = 72
Bu denklem birleştirildiğinde:
2 \times 4a = 72
Adım 4: Denklemi Çözme
8a = 72
Buradan:
a = \frac{72}{8} = 9
Adım 5: Sonuç
Kısa kenarın uzunluğu 9 cm olarak bulunur. Soru, sadece kısa kenarı istemektedir ve cevabımız 9 cm’dir.
Özetle: Dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm, uzun kenarı ise “kısa kenarın 3 katı” olduğundan 3 \times 9 = 27 cm’dir.
5. Soru Bağlamında Ek Örnekler
Benzer problemlerle de karşılaşabilirsiniz; örneğin:
- Uzun kenarı kısa kenarının 2 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 60 cm ise kısa kenar kaç cm’dir?
- Burada b = 2a ve 2(a + 2a) = 60 üzerinden çözebilirsiniz.
- Uzun kenarı kısa kenarının 5 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 96 cm ise kısa kenar kaç cm’dir?
- Burada b = 5a ve 2(a + 5a) = 96 üzerinden çözebilirsiniz.
Bu tür örnekler, aradığınız formülleri ve yöntemleri uygulamanız için idealdir. Her zaman temel mantık b = k \cdot a ve 2 (a + b) = \text{Çevre} şeklindedir.
6. Dikdörtgenin Günlük Hayattaki Rolü
Dikdörtgenler, sadece teorik geometrik şekiller değildir; günlük yaşamda birçok alanda karşımıza çıkar:
- Mimari ve İnşaat: Odaların, kapıların, pencerelerin tasarımında çoğunlukla dikdörtgen formlar kullanılır.
- Tekstil: Masa örtüleri, havlular, çarşaflar sıklıkla dikdörtgen biçiminde üretilir.
- Kâğıt Boyutları: En yaygın kâğıt formatlarından olan A4, A3 kâğıtlar dikdörtgen şeklindedir.
- Elektronik Eşyalar: Televizyon, telefon, bilgisayar ekranları çoğu zaman dikdörtgen tasarımdadır.
Gözümüzün aşina olduğu bu şekil, aslında gerek tasarımdaki sadelik gerekse kullanım kolaylığı açısından çok elverişlidir. Çevre hesabı da özellikle birşeyin etrafına çerçeve yapmak, bant döşemek ya da çit çekmek gibi durumlarda önem kazanır.
7. Kısa Kenara Dair Farklı Yaklaşımlar
Bu problemde kısa kenar, uzun kenarın bir basit katı olarak verildiği için matematiksel modelleme oldukça kolaydır. Peki, kısa kenarın 9 cm bulunmasının farklı açılardan açıklaması olabilir mi?
- Orantı Yöntemi: Burada uzun kenarla kısa kenar arasındaki orantı 3:1 şeklindedir. Perimetrenin (çevrenin) 72 olduğu verildiğinde, toplamda bütün kenarların (2 adet kısa + 2 adet uzun) 72 cm olduğu söylenebilir. Orantı sayesinde direkt olarak 4 birim “kısa kenar” + 12 birim “uzun kenar” = 16 birim bulunur, ancak bu 16 birim aslında “4 × a + 4 × 3a” şeklinde değil, 2a + 6a = 8a mantığıyla aynı noktaya çıkar.
- Geometrik Çizimle: Bir kağıdın üzerine basit bir dikdörtgen çizerek, uzun kenarını 3 eşit parçaya ayırdığınızda, kısa kenarı bir parça, uzun kenarı 3 parça biçiminde düşünerek deneme-yanılma ile de 9 cm’i elde edebilirsiniz.
- Alan Bilgisi ile Yaklaşım: Eğer alan bilgisi verilseydi, yine oradan kısa kenara ulaşılabilirdi. Mesela “Alan 9 ile 3a’nın çarpımından oluşur” gibi. Ancak bu soru özelinde alan bilgisi olmadığı için o yöntem tercih edilmez.
8. Önemli Noktalar ve İpuçları
-
Kenar Oranını Not Edin: Uzun kenar, kısa kenarın ‘n’ katı olarak verilmişse daima b = n \cdot a yazabilirsiniz. Sorularda bu n sayısı sık değişebilir (2, 3, 4, 5 vb.).
-
Çevre Formülü Temelidir: Dikdörtgende çevre her zaman 2 \times (a + b) şeklinde ifade edilir. Eğer kare ise, a = b olur ve çevre formülü 4a olur.
-
Denklem Kururken Acele Etmeyin: Birçok öğrenci, 2(a + b) = \text{Çevre} denklemine b yerine 3a yazmayı unutur veya karıştırır. Basit hatalardan kaçınmak için adım adım ilerlemek önemlidir.
-
Günlük Yaşamdaki Benzerlikler: Gerçek hayatta perde, tablo çerçevesi, halı kenar ölçüleri gibi pek çok yerde bu tip hesaplar geçerli olabilir.
-
Matematiksel Kontrol: Elde ettiğiniz sonucu “toplam çevreyi yeniden hesaplama” ile doğrulayın. Örneğin kısa kenarı 9 cm bulduk; uzun kenar 27 cm. Çevre 2 \times (9 + 27) = 2 \times 36 = 72 cm gelir. Bu, bulduğumuz değeri onaylar.
9. Tablo: Ölçüler, Formüller ve Özet Bilgiler
Aşağıdaki tabloda dikdörtgenle ilgili özet formüller, sorunun verileri ve sonuçları yer almaktadır.
| Öğe | Açıklama | Matematiksel Gösterim |
|---|---|---|
| Kısa Kenar (a) | Dikdörtgenin daha küçük olan kenarı | a = 9 cm |
| Uzun Kenar (b) | Dikdörtgenin daha büyük olan kenarı, soruda 3 katına denk geliyor | b = 3a = 27 cm |
| Çevre Formülü | Dikdörtgen çevresi, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamının ifadesi | C = 2 \times (a + b) |
| Verilen Çevre (C) | Soruya göre dikdörtgenin toplam çevresi | 72 cm |
| Denklem | 2(a + 3a) = 72 \Rightarrow 8a = 72 \Rightarrow a = 9 | |
| Sonuç (Kısa Kenar) | Sorulan değer | 9 cm |
| Sonuç (Uzun Kenar) | Kısa kenarın 3 katı | 27 cm |
Tabloda net şekilde görüldüğü üzere, kısa kenarın 9 cm, uzun kenarın 27 cm olduğu doğrulanır.
10. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Bu soruda, dikdörtgenin uzun kenarının kısa kenarın 3 katı olması ve çevrenin 72 cm olarak verilmesi sayesinde kısa kenarı \displaystyle 9\text{ cm} olarak buluyoruz. Bu basit ama temel problem, dikdörtgenlerin çevresini hesaplarken atmamız gereken adımları ortaya koyar:
- Öncelikle geometri sorularında verilmiş olan “kat” ya da “orantı” gibi bilgileri denkleme aktarırız (b = 3a gibi).
- Ardından, çevre formülü ile elimizdeki tüm bilgileri birleştirir, tek değişken üzerinden denklemi çözeriz.
- Son olarak, elde edilen sayısal sonucu sorunun istediği değere dönüştürür ve mümkünse kontrol amaçlı çevre hesabını yeniden yaparak doğruyu teyit ederiz.
Kısa kenar 9 cm, uzun kenar 27 cm olup çevre 72 cm dır. Denklemler ve matematiksel mantık, bu sonucu doğrulamaktadır.
Özetle
- Dikdörtgenin kısa kenarına a denir.
- Uzun kenar, kısa kenarın 3 katı, yani b = 3a.
- Çevre 72 cm olarak verilmiş, yani 2(a + b) = 72.
- Bu bilgileri birleştirerek a = 9 cm bulunur.
Bu tür problemlerde biçim aynı, sayılar farklı olsa da yöntem benzerdir. Temel olarak, verilmiş oranlar ve çevre/alan denkleminden türetilen formülleri kullanarak sonuca ulaşırız.
Bu ayrıntılı incelemeden sonra, dikdörtgenin kısa kenarının 9 cm olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.