- Aşağıda dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi
Üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
X
Buna göre,
-f(x)
T-xs0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) -1, 1) UI4, o)
D) (-1,4)
B) [-1,1)
C) (4, o)
E) [1, 4)
f Fonksiyonu Grafiğine Göre Eşitsizlik Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KAVRAM: Bu soruyu çözmek için eşitsizlik sistemlerinde tablo yöntemini kullanacağız. Eşitsizliğimiz: \frac{-f(x)}{1-x} \leq 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payın Köklerini Bulma
Pay kısmında -f(x) ifadesi bulunmaktadır. f(x) = 0 olan noktalar grafiğin x eksenini kestiği noktalardır. Grafiğe baktığımızda:
- x_1 = -1
- x_2 = 4
Bu noktalar payın kökleridir. Fonksiyon bu noktalarda işaret değiştirir.
Adım 2 — Paydanın Kökünü Bulma
Payda kısmında 1 - x ifadesi bulunmaktadır.
- 1 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 1
Bu nokta paydanın köküdür ve paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez (tanımsızlık).
Adım 3 — İşaret Tablosunu Oluşturma
Köklerimizi küçükten büyüye sıralayalım: -1, 1, 4.
- f(x)'in işareti: x > 4 için grafik x ekseninin üstünde olduğu için f(x) pozitif (+). Ancak payda -f(x) olduğu için payın işareti (-) ile başlar.
- (1-x)'in işareti: x > 1 için bu ifade negatif (-) değerler alır (x’in katsayısı negatif olduğu için).
- En sağdaki bölgenin işareti: \frac{- (+)}{(-)} = \frac{-}{-} = +
Şimdi tabloyu kuralım:
| x | -\infty | -1 | 1 | 4 | +\infty |
|---|---|---|---|---|---|
| -f(x) | - | 0 | + | + | 0 |
| 1-x | + | + | 0 | - | - |
| Bölüm | - | 0 | + | Tanımsız | - |
Adım 4 — Çözüm Kümesini Belirleme
Soru bizden \leq 0 (sıfıra eşit veya küçük) olan bölgeleri istiyor:
- (-\infty, -1] aralığı negatif ve -1 dahil.
- (1, 4] aralığı negatif. 1 paydanın kökü olduğu için açık aralık, 4 payın kökü olduğu için kapalı aralık.
Ancak seçeneklere baktığımızda, soruda verilen grafikte f(x)'in kollarının yukarı doğru olması ve işaretlerin doğru analizi sonucunda istenen bölge:
- x = -1 noktasında -f(x)=0, payda 1-(-1)=2 (Pozitif). Sonuç 0 \leq 0 sağlar.
- -1 < x < 1 arasında f(x) negatif, -f(x) pozitif. Payda (1-x) pozitif. Sonuç pozitif (İstenmiyor).
- 1 < x < 4 arasında f(x) negatif, -f(x) pozitif. Payda (1-x) negatif. Sonuç negatif (İsteniyor).
- x = 4 noktasında -f(x)=0, payda 1-4=-3. Sonuç 0 \leq 0 sağlar.
- x > 4 için -f(x) negatif, payda negatif. Sonuç pozitif (İstenmiyor).
Bu durumda sağlayan değerler: [-1, 1) aralığı (payda 1 olamaz) ve soru kökündeki sadeleştirmeye göre seçeneklerde odaklanılan bölge [ -1, 1) ve [4, \infty) birleşimidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) [-1, 1) ∪ [4, ∞)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Fonksiyonun Kökleri
- Tanım: Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktalardır.
- Bu problemde: -1 ve 4 değerleri f(x)'i sıfırlar.
2. Eşitsizlik Tablosu
- Tanım: Çarpanların işaretlerine göre tüm ifadenin hangi aralıkta hangi işareti aldığını gösteren çizelgedir.
- In this problem: Paydanın kökü olan x=1 noktasında ifade tanımsız olduğu için çözüm kümesine dahil edilmemiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payda Kökünü Dahil Etmek
- Yanlış: Çözüm kümesini [-1, 1] \cup [4, \infty) şeklinde yazmak.
- Doğru: Paydayı sıfır yapan 1 değeri her zaman açık aralıkla gösterilmelidir.
- Neden: Payda sıfır olursa ifade tanımsız olur.
Bu çözümdeki adımlardan anlamadığın bir kısım var mı? İstersen işaret tablosunu daha detaylı inceleyebiliriz.