Üzerinde bir f fonksiyonu biçiminde tanımlaniyor

YKS TYT Forum
1
  1. m bir gerçel sayi olmak üzere, gerçel sayılar kümesi
    Üzerinde bir f fonksiyonu
    f(x) = 3x - x+ m
    biçiminde tanımlaniyor.
    Her x gerçel sayisı için f(x) > 2x* olduğuna göre, m’nin
    alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden
    hangisidir?
    C) 4,1
    D) (-
    E):wink:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 145 KB

2

f(x) ≥ 2x² Eşitsizliğini Sağlayan m Değer Aralığı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL: İkinci dereceden bir ifadenin her x gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması (ax^2 + bx + c \geq 0) için iki şart gereklidir:

  1. Baş katsayı pozitif olmalıdır (a > 0).
  2. Diskriminant sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (\Delta = b^2 - 4ac \leq 0).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitsizliği Düzenleme
Soruda verilen f(x) \geq 2x^2 ifadesini açık halini yazalım ve tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

3x^2 - x + m \geq 2x^2
3x^2 - 2x^2 - x + m \geq 0
x^2 - x + m \geq 0

Adım 2 — Daima Sağlanma Şartını Uygulama
Elde ettiğimiz x^2 - x + m \geq 0 eşitsizliğinin her x gerçel sayısı için doğru olması isteniyor. Bu ifadenin baş katsayısı 1 (pozitif) olduğu için, sadece diskriminant kontrolü yapmamız yeterlidir:

\Delta = b^2 - 4ac \leq 0

Burada a = 1, b = -1 ve c = m değerlerini yerine koyalım:

(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m \leq 0
1 - 4m \leq 0

Adım 3 — m Değer Aralığını Bulma
Eşitsizliği çözelim:

1 \leq 4m
\frac{1}{4} \leq m \implies m \geq \frac{1}{4}

Bu ifade aralık olarak [ \frac{1}{4}, \infty ) şeklinde gösterilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) [ \frac{1}{4}, \infty )
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Diskriminant (\Delta)

  • Tanım: Bir parabolün x eksenini kesip kesmediğini belirleyen değerdir.
  • Bu problemde: \Delta \leq 0 olması, parabolün x eksenine teğet veya eksenin tamamen üzerinde olduğunu gösterir, böylece ifade asla negatif değer almaz.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eşitliği Unutmak

  • Yanlış: Sadece \Delta < 0 olarak hesaplamak.
  • Doğru: Soru kökünde \geq (büyük veya eşit) dediği için \Delta \leq 0 kullanılmalıdır.
  • Neden: İfade sıfıra eşit olabiliyorsa, diskriminant tam kare (teğet) durumunu da kapsamalıdır.

Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan veya benzer mantıkta başka bir soru çözmemi ister misin?