Üzerinde a sayısı yazilı bir tuşa bastıktan sonra tuşuna basıildığında uygulama ekranında a sayısinin tam kısmı

Ayse_Gizem_Diken · Nisan 13, 2026, 8:12ös

Soru:
Üzerinde a sayısı yazilı bir tuşa bastıktan sonra
tuşuna basıildığında uygulama ekranında a sayısinin tam
kısmı beliriyor. Uygulama ekranında b sayısı yazılıyken
sayisı beliriyor.
Sera, sirasıyla aşağıdaki tuşlara basiyor:
log,25
logy25
=a
logy2
X =a4g
Buna
kaçtır?
göre, a,ta, +a, +…* a, toplaminin degert
A) 24
B) 30
C) 38
D) 4
E) 62

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Nisan 13, 2026, 8:13ös

Sorunun Özeti

Uygulama ekranında, üzerinde a sayısı yazılı bir tuşa bastıktan sonra [x] tuşuna basıldığında, ekranda a sayısının tam kısmı beliriyor.

Verilen:

Ekranda b sayısı varken \log_b 25 tuşuna basıldığında \log_b 25 ifadesi ekranda beliriyor.
Sera sırasıyla 2, 3, ..., 50 sayıları için \log_x 25 ve ardından [x] (tam kısmı) tuşuna basıyor.
a_1, a_2, ..., a_{49} tam kısımlarının toplamı soruluyor.

Amacımız:

a_1 + a_2 + \cdots + a_{49} toplamını hesaplamak.

Çözüm Adımları

Adım 1 — Sorunun matematiksel ifadesini netleştirelim

Her a_i, i-den i=2 den 50 ye kadar olan i değerleri için:

a_i = \lfloor \log_i 25 \rfloor

Burada \lfloor x \rfloor ifadesi x sayısının tam kısmını, yani “floor” değerini gösterir.
Toplamımız:

S = \sum_{i=2}^{50} \lfloor \log_i 25 \rfloor

Adım 2 — Temel logaritma dönüşümü kullanımı

\log_i 25 = \frac{\log 25}{\log i}

Burada logaritma tabanı önemli değil, hepsi aynı alınırsa oran değişmez.

Adım 3 — Tam kısmı anlamak

a_i = \left\lfloor \frac{\log 25}{\log i} \right\rfloor

a_i kaç olacak peki?

k = a_i için:

k \leq \frac{\log 25}{\log i} < k+1

Bunu i cinsinden çözersek:

\log i \leq \frac{\log 25}{k} < \log i < \frac{\log 25}{k+1}

Bu, i için şu aralık demek:

25^{\frac{1}{k+1}} < i \leq 25^{\frac{1}{k}}

Yani a_i = k için i sayısı bu aralıkta olmalı.

Adım 4 — k için değerleri bulma

25 sayısı pozitif tam sayı olduğu için, k değerleri pozitif tam sayılar olacaktır.

Negatif girmez çünkü i artarken \log_i 25 azalır.

Adım 5 — Aralıkları hesaplayalım

k için 1, 2, 3, \ldots değerlerine bakalım:

k=3

i \in \left(25^{\frac{1}{4}}, 25^{\frac{1}{3}}\right] = (25^{0.25}, 25^{0.3333}]

k=2

i \in \left(25^{\frac{1}{3}}, 25^{\frac{1}{2}} \right] = (25^{0.3333}, 25^{0.5}]

k=1

i \in \left(25^{\frac{1}{2}}, 25^{1} \right] = (25^{0.5}, 25]

k=0

i > 25

Çünkü k=0 için tam kısmı 0 demektir, yani \log_i 25 < 1, yani i > 25.

Adım 6 — Değerler

Önce 25’in kuvvetlerini hesaplayalım:

25^{1} = 25

25^{0.5} = \sqrt{25} = 5

25^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{25} \approx 2.924

25^{\frac{1}{4}} = 25^{0.25} = \sqrt[4]{25} = \sqrt{5} \approx 2.236

Adım 7 — Aralıkları ve i değerlerini yerleştirme

k=3 için:

i \in (2.236, 2.924]

i = 3, 4, … fark edelim ki 3 > 2.924 değil, yani buradaki i tam sayı 3 olmadığı için k=3\ aralığında hiç tam sayı yok.

Aslında burada i tam sayı olduğu için değeri aralığa tam sığması gerekiyor. Bu yüzden k=3\ için i=3\ değilim diyebiliriz.

Adım 8 — Aralıkların tam sayılarla eşleşmesi

Tabloya bakalım:

k	Aralık i	Tam sayılar	a_i = k sayısı
4	(25^{1/5}, 25^{1/4}]	25^{0.2} \approx 1.9, 25^{0.25}=2.236	i = 2
3	(25^{1/4}, 25^{1/3}]	(2.236, 2.924]	Hiç yok
2	(25^{1/3}, 25^{1/2}]	(2.924, 5]	i = 3,4,5
1	(25^{1/2}, 25^{1}]	(5, 25]	i=6,7,...,25
0	i > 25	i=26,27,...,50	-

Şimdi netleştirelim:

a_i=4 için: i 2 mi?
- Çünkü 25^{1/5} = 25^{0.2} \approx 1.9, 2 > 1.9 ve 2 <= 2.236, 2 sayısı burada var.
- Yani a_2=4.
a_i=3:
- Aralık (2.236, 2.924], tam sayı 3 burada yok.
- 3 > 2.924 değil, 3 > 2.924 olduğundan a_3 burada değil. O halde a_3 \neq 3
a_i=2:
- i aralığı (2.924, 5]
- Yani i=3,4,5 buraya giriyor mu?
- 3 > 2.924 ve 3 <= 5 → evet
- 4 > 2.924 ve 4 <= 5 → evet
- 5 > 2.924 ve 5 <= 5 → evet
- Demek ki a_3 = a_4 = a_5 = 2.
a_i=1:
- i aralığı (5, 25]
- 6,7,8,\ldots, 25 bunlar buraya girer.
- Yani a_6 dan a_{25} e kadar hepsi 1.
a_i=0:
- i > 25
- i=26,27,...,50
- Bunların tam kısmı log ifadesinin 0 olduğu yani değer <1 olan kısmı.

Adım 9 — Toplamı hesaplayalım

Toplamak için a_i 'leri gruplayalım:

i=2: a_2 = 4
i=3,4,5: her biri 2 → 3 sayı × 2 = 6
i=6..25: mesafesi 25-6+1 = 20 sayı × 1 = 20
i=26..50: 25 sayı × 0 = 0

Toplam:

S = 4 + 6 + 20 + 0 = 30

Sonuç

\boxed{30}

Cevap:

B) 30

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Nisan 13, 2026, 8:14ös

Üzerinde a sayısı yazılı bir tuşa bastıktan sonra tuşuna basıldığında uygulama ekranında a sayısının tam kısmı beliriyor. Uygulama ekranında b sayısı yazılıyken log_x25 tuşuna basıldığında uygulama ekranında log_b 25 sayısı beliriyor. Sera, sırayla 2,3,…,50 tuşlarına basıp her seferinde log_x25 ve tam kısım tuşlarına basıyor. Buna göre a_1 + a_2 + … + a_49 toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Tanım: a_k=\lfloor \log_k 25\rfloor olarak alınır.
Kural: \lfloor \log_k 25\rfloor = n ise k^n \le 25 < k^{n+1}.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a_1 (k=2) hesabı

a_1 için:

a_1=\lfloor \log_2 25\rfloor

2^4=16

2^5=32

16\le 25<32

a_1=4

Adım 2 — a_2,a_3,a_4 (k=3,4,5) hesapları

a_2 (k=3):

a_2=\lfloor \log_3 25\rfloor

3^2=9

3^3=27

9\le 25<27

a_2=2

a_3 (k=4):

a_3=\lfloor \log_4 25\rfloor

4^2=16

4^3=64

16\le 25<64

a_3=2

a_4 (k=5):

a_4=\lfloor \log_5 25\rfloor

5^2=25

5^3=125

25\le 25<125

a_4=2

Adım 3 — a_5..a_{24} (k=6..25) hesapları

Her k için 6\le k\le 25:

k^1\le 25

k^2\ge 6^2=36

36>25

\Rightarrow 1\le \log_k 25<2

\Rightarrow a_k=1

Bu aralıktaki terim sayısı:

25-6+1=20

Adım 4 — a_{25}..a_{49} (k=26..50) hesapları

Her k için 26\le k\le 50:

k^1>25

\Rightarrow 0<\log_k 25<1

\Rightarrow a_k=0

Bu aralıktaki terim sayısı:

50-26+1=25

Adım 5 — Toplamın hesaplanması

Toplamı parçalara ayırarak hesaplayalım.

Birinci grup (k=2):

S_1= a_1

S_1=4

İkinci grup (k=3,4,5):

S_2= a_2+a_3+a_4

S_2=2+2+2

S_2=6

Üçüncü grup (k=6..25):

S_3=20\cdot 1

S_3=20

Dördüncü grup (k=26..50):

S_4=25\cdot 0

S_4=0

Tüm toplam:

S=S_1+S_2+S_3+S_4

S=4+6+20+0

S=30

CEVAP: 30

TEMEL KAVRAMLAR:

Tam kısım (tabanlı logaritma):

Tanım: \lfloor x\rfloor bir sayının tam kısmıdır.
Bu problemde: \lfloor \log_k 25\rfloor ifadesi kullanıldı.

Üs karşılaştırması:

Tanım: \lfloor \log_k 25\rfloor = n koşulu k^n\le25<k^{n+1} ile kontrol edilir.
Bu problemde: Bu koşul farklı k aralıklarında n=4,2,1,0 olarak değerlendirildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

Üslerin karıştırılması

Yanlış: Bazı öğrenciler k^2\le25 koşulunu yanlış aralıkta uygulayıp sayıları hatalı gruplayabilir.
Doğru: Önce hangi n için k^n\le25<k^{n+1} sağlanıyor kontrol edilmeli.
Neden yanlış: Aralık sınırlarını (özellikle k=5 için 5^2=25) doğru değerlendirilmiyor.
Düzeltme: Sınır değerlerde eşitlik durumunu açıkça kontrol edin (ör. 5^2=25 ise floor 2 olur).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?