Uygun aralıkta tanımlı f(x) = \frac{1}{1+2^x} şeklindeki f fonksiyonu veriliyor.
Buna göre
f(-40) + f(-39) + f(-38) + \dots + f(39) + f(40)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 35,5 B) 40 C) 40,5 D) 80 E) 80,5
Fonksiyonlarda Simetri ve Toplam Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
f(x) + f(-x) = 1
f(0) = \frac{1}{1+2^0} = \frac{1}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) + f(-x) Toplamının Bulunması
Verilen f(x) = \frac{1}{1+2^x} fonksiyonunda x yerine -x yazarak bu iki ifadeyi toplayalım:
f(-x) = \frac{1}{1+2^{-x}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2^x}} = \frac{2^x}{2^x+1}
f(x) + f(-x) = \frac{1}{1+2^x} + \frac{2^x}{1+2^x} = \frac{1+2^x}{1+2^x} = 1
Bu bağıntı bize, zıt işaretli sayıların fonksiyon değerleri toplamının daima 1’e eşit olduğunu gösterir.
Adım 2 — Terimleri İkili Gruplama ve Ortanca Terimi Belirleme
İfadeyi f(-k) + f(k) şeklinde çiftler halinde gruplandıralım:
\text{Toplam} = \underbrace{\big(f(-40) + f(40)\big)}_{1} + \underbrace{\big(f(-39) + f(39)\big)}_{1} + \dots + \underbrace{\big(f(-1) + f(1)\big)}_{1} + f(0)
- 1’den 40’a kadar toplam 40 adet çift vardır:40 \times 1 = 40
- Ortada kalan tek terim f(0)'dır:f(0) = \frac{1}{1+2^0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = 0,5
Adım 3 — Toplam Sonucunun Hesaplanması
\text{Toplam} = 40 + 0,5 = 40,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — 40,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Noktaya Göre Simetri: f(x) + f(-x) = 2c özelliğini sağlayan fonksiyonlar (0, c) noktasına göre simetriktir. Bu soruda fonksiyon (0, 0.5) noktasına göre simetriktir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ortadaki f(0) terimini unutup sadece çiftleri toplayarak cevabı 40 bulmak.- Doğru Yaklaşım: Toplamdaki terim sayısının 40 - (-40) + 1 = 81 adet olduğunu dikkate alarak 40 çift ve 1 tek (f(0)) terim bulunduğunu hesaba katmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?