Uygun aralıkta tanımlı f(x) = \frac{1}{1 + 2^x} şeklindeki f fonksiyonu veriliyor.
Buna göre
f(-40) + f(-39) + f(-38) + \dots + f(39) + f(40)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 35,5
B) 40
C) 40,5
D) 80
E) 80,5
Fonksiyonlarda Simetri ve Değerler Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
f(x) = \frac{1}{1 + a^x} tipindeki fonksiyonlarda:
f(x) + f(-x) = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) + f(-x) Toplamının Değerini Bulma
Fonksiyonda x yerine -x yazarak f(-x) ifadesini düzenleyelim:
f(-x) = \frac{1}{1 + 2^{-x}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^x}} = \frac{1}{\frac{2^x + 1}{2^x}} = \frac{2^x}{2^x + 1}
Şimdi f(x) ile f(-x) ifadelerini toplayalım:
f(x) + f(-x) = \frac{1}{1 + 2^x} + \frac{2^x}{1 + 2^x} = \frac{1 + 2^x}{1 + 2^x} = 1
Bu bağıntı, simetrik her x ve -x değerinin toplamının daima 1 olduğunu gösterir.
Adım 2 — Terimleri Eşleştirme
Verilen toplamı simetrik çiftler halinde gruplandıralım:
\underbrace{[f(-40) + f(40)]}_{1} + \underbrace{[f(-39) + f(39)]}_{1} + \dots + \underbrace{[f(-1) + f(1)]}_{1} + f(0)
- 1’den 40’a kadar toplam 40 adet simetrik çift vardır.
- Bu çiftlerin toplamı: 40 \cdot 1 = 40
Adım 3 — Ortanca Terimi (f(0)) Hesaplama ve Sonucu Bulma
Eşleşmeyen ortadaki f(0) değerini hesaplayalım:
f(0) = \frac{1}{1 + 2^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5
Toplam değer:
\text{Toplam} = 40 + f(0) = 40 + 0{,}5 = 40{,}5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C Seçeneği — 40,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Fonksiyon Simetrisi: f(x) + f(-x) = 1 gibi özel toplam özelliklerine sahip fonksiyonlarda tek tek değer hesaplamak yerine terimleri birbirini tamamlayacak şekilde eşleştirmek çözümü kısaltır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ortada kalan f(0) terimini unutup sadece 40 çiftin toplamını alarak cevabı 40 bulmak.- Doğru Yaklaşım: -40’tan +40’a kadar toplam 40 - (-40) + 1 = 81 adet terim olduğunu, 40 çiftin yanında 1 tane tek başına f(0) teriminin kaldığını dikkate almak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?