Uygun aralıkta tanımlı f(x) = \frac{1}{1+2^x} fonksiyonu veriliyor.
Buna göre
f(-40) + f(-39) + f(-38) + \dots + f(39) + f(40)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 35,5 B) 40 C) 40,5 D) 80 E) 80,5
Fonksiyonlarda Simetri ve Toplam Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
f(x) + f(-x) = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) + f(-x) Toplamının Değerini Bulma
Fonksiyonda x yerine -x yazarak f(-x) ifadesini elde edip f(x) ile toplayalım:
f(-x) = \frac{1}{1 + 2^{-x}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^x}} = \frac{1}{\frac{2^x + 1}{2^x}} = \frac{2^x}{1 + 2^x}
Taraf tarafa toplama yapıldığında:
f(x) + f(-x) = \frac{1}{1 + 2^x} + \frac{2^x}{1 + 2^x} = \frac{1 + 2^x}{1 + 2^x} = 1
Bu bağıntı, birbirinin zıt işaretlisi olan her x ve -x ikilisinin görüntülerinin toplamının her zaman 1 olduğunu gösterir.
Adım 2 — Terimleri İkili Gruplara Ayırma
Verilen toplamı simetrik elemanlar halinde eşleştirelim:
S = \underbrace{\big[f(-40) + f(40)\big]}_{1} + \underbrace{\big[f(-39) + f(39)\big]}_{1} + \dots + \underbrace{\big[f(-1) + f(1)\big]}_{1} + f(0)
1’den 40’a kadar toplamda 40 adet ikili çift bulunmaktadır. Dolayısıyla bu çiftlerin toplamı:
40 \times 1 = 40
Adım 3 — Ortada Kalan f(0) Değerini Hesaplama ve Sonuca Ulaşma
Eşleşmeyen f(0) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
f(0) = \frac{1}{1 + 2^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0,5
Tüm terimlerin toplamı:
\text{Toplam} = 40 + 0,5 = 40,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — 40,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Noktaya Göre Simetri (Teklik-Çiftlik Bağıntıları): f(x) + f(-x) = 1 eşitliğini sağlayan fonksiyonlar, \left(0, \frac{1}{2}\right) noktasına göre simetriktir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ortadaki f(0) terimini unutup sadece 40 çifti toplayarak sonucu 40 (B seçeneği) bulmak.- Doğru Yaklaşım: -40’tan +40’a kadar 81 adet terim olduğunu fark edip çiftleşmeyen ortanca terim olan f(0)'ı ayrıca toplama dahil etmek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir fonksiyonel toplam sorusu çözmek ister misin?