!1000072538|666x500 [Link Silindi]
Üstteki soruyu çöz
Soru:
Alanı 150 m² olan aşağıdaki dikdörtgen şeklindeki arsanın kenar uzunlukları metre cinsinden aralarındaki doğal sayı sayısı kaçtır?
Sorunun Anlamı ve Verilenler:
- Dikdörtgen bir arsanın alanı 150 \, m^2.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayılar.
- Kenar uzunlukları x ve y olsun.
- Alan formülü: x \times y = 150.
- x ve y doğal sayılar olduğuna göre, x ve y 150’nin çarpanlarıdır.
- Soru, bu doğal sayı çiftlerinin sayısını soruyor.
Çözüm Adımları:
- 150 sayısının pozitif doğal sayı çarpanlarını bulalım:
Öncelikle 150’nin asal çarpanlarına ayrılması:
150 = 2 \times 3 \times 5^2
- 150’nin pozitif bölenlerini bulalım:
Bir sayının bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımıdır:
- 2’nin üssü: 1 → 1 + 1 = 2
- 3’ün üssü: 1 → 1 + 1 = 2
- 5’in üssü: 2 → 2 + 1 = 3
Toplam bölen sayısı:
2 \times 2 \times 3 = 12
Yani 150’nin 12 tane pozitif böleni vardır.
- Bölenler:
Bunlar sırasıyla:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayılar olduğuna göre, kenar uzunlukları 150’nin bölenlerinden seçilir.
Her kenar uzunluğu için bir bölen seçilir ve çarpımları 150 olur.
- Kenarlara ait doğal sayı çiftlerinin sayısı:
Her bir bölen d için, diğer kenar 150/d olur.
Ancak, (x,y) ve (y,x) çiftleri aynı dikdörtgeni ifade eder.
Bu nedenle, farklı kenar uzunluğu çiftlerinin sayısını bulmak için bölenleri eşleştirmemiz gerekir.
- Bölenleri eşleştirme:
Çiftleri yazalım:
- (1, 150)
- (2, 75)
- (3, 50)
- (5, 30)
- (6, 25)
- (10, 15)
Toplam 6 farklı kenar uzunluğu çifti vardır.
Sonuç:
Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanı 150 m² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları arasında 6 tane doğal sayı çifti vardır.
Özet Tablosu:
| Kenar 1 (x) | Kenar 2 (y) | x \times y |
|---|---|---|
| 1 | 150 | 150 |
| 2 | 75 | 150 |
| 3 | 50 | 150 |
| 5 | 30 | 150 |
| 6 | 25 | 150 |
| 10 | 15 | 150 |
Ek Not:
- Eğer soru kenar uzunlukları arasındaki doğal sayı sayısını soruyorsa, yani kenar uzunlukları arasındaki doğal sayılar kaç tane diye soruyorsa, bu farklı bir sorudur. Ancak burada soru kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda kaç farklı çift olduğunu soruyor gibi görünüyor.
Özet: Alanı 150 m² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayılar olduğunda, bu kenar uzunlukları arasında 6 farklı doğal sayı çifti vardır.
Bir dikdörtgen, bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru ile iki bölüme ayrılıyor. Küçük bölgenin alanı 150 m² ise, diğer bölgenin alanı kaç m²’dir?
İçindekiler
- Problem Tanımı
- Çözüm Adımları
2.1. Şeklin Modelinin Kurulması
2.2. Alan İlişkisi ve Hesaplama
2.3. Kalan Bölgenin Alanı - Özet Tablo
- Sonuç
1. Problem Tanımı
- Elimizde ABCD dikdörtgeni var.
- BC kenarının orta noktası M olsun.
- D noktasından M noktasına çizilen doğru ile dikdörtgen, iki bölgeye ayrılıyor.
- Oluşan küçük bölgenin alanı 150\ \text{m}^2 olarak verilmiş.
- Soru: Diğer (kalan) bölümün alanı kaç m²’dir?
Şekil şematik olarak şöyle düşünülür:
A __________ B
| |
| |
| |
| M____|
| / |
| / |
| / |
D/________C
- Dikdörtgenin kısa kenarı a, uzun kenarı b olsun.
- M, BC kenarının orta noktası olduğu için BM=MC=\tfrac{b}{2}.
2. Çözüm Adımları
2.1. Şeklin Modelinin Kurulması
- Dikdörtgen ABCD’de AB=a, BC=b olarak isimlendirelim.
- M noktası, BC kenarının tam ortasıdır; bu yüzden CM = \tfrac{b}{2}.
- D ile M arasında çizilen doğru, 3 köşeyi birleştirerek küçük bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin kenar uzunlukları temel olarak:
- Taban: AB = a
- Yükseklik: nokta M’den AB’ye dik iniş, pratikte yükseklik CM = \tfrac{b}{2} olarak alınır.
2.2. Alan İlişkisi ve Hesaplama
Küçük bölge, bir üçgendir. Üçgenin alan formülü:
\text{Alan}_{\triangle} \;=\; \tfrac{1}{2}\times(\text{Taban})\times(\text{Yükseklik})
Burada:
- Taban uzunluğu = a
- Yükseklik = CM = \tfrac{b}{2}
Dolayısıyla:
\text{Küçük Üçgenin Alanı} = \tfrac{1}{2}\times a \times \tfrac{b}{2} = \tfrac{a\,b}{4}
Soruda bu küçük üçgenin alanı 150\ \text{m}^2 olarak verildiğine göre:
\tfrac{a\,b}{4} = 150 \quad\Longrightarrow\quad a\,b = 150 \times 4 = 600
Böylece dikdörtgenin toplam alanı:
\text{Alan}_{\text{dikdörtgen}} = a \times b = 600\ \text{m}^2
2.3. Kalan Bölgenin Alanı
Dikdörtgen, üçgensel küçük bölge ile kalan bölgeye (beşgen görünümde) ayrılıyor.
Toplam alan – Küçük üçgenin alanı = Kalan bölgenin alanı:
\text{Kalan Bölgenin Alanı} = (a\,b) - \tfrac{a\,b}{4} = \tfrac{4\,a\,b - a\,b}{4} = \tfrac{3\,a\,b}{4}
Buna nümerik değerleri yerleştirirsek:
\text{Kalan Bölge} = 600 - 150 = 450\ \text{m}^2
3. Özet Tablo
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Dikdörtgen alanı | a\times b | 600\ \text{m}^2 |
| Küçük üçgen alanı | \tfrac12\times a\times \tfrac{b}{2} | 150\ \text{m}^2 |
| Küçük üçgenin ab cinsinden alanı | \tfrac{ab}{4} | 150 |
| Dikdörtgenin ab cinsinden alanı | ab = 150\times4 | 600 |
| Kalan bölge alanı | 600 - 150 | 450 m² |
4. Sonuç
Dikdörtgen, bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru ile ayrıldığında, küçük üçgen bölgenin alanı 150\ \text{m}^2 ise, geri kalan bölümün alanı
\displaystyle 450\ \text{m}^2
olarak bulunur.