Soru: Şekildeki koordinat sisteminde A(3, 7) noktasından geçen d doğrusu eksenleri K ve L noktalarında kesmektedir. İOKI = IOLI olduğuna göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu tür sorular, koordinat sistemindeki doğruların denklemlerini bulmayı ve bazı geometrik özellikleri kullanmayı gerektirir. Şimdi adım adım ilerleyelim:
Adım 1 - Doğru Denklemi Genel Formu
Bir doğru y = mx + n formatındadır. Burada:
- m doğru eğimini,
- n ise doğru ile y eksenini kesen noktayı belirtir.
Adım 2 - İOKI = IOLI Koşulu (Simetrik Kesme)
Doğru, A(3, 7) noktasından geçtiğine göre:
- A noktası (x=3, y=7) bu doğrunun denklemini sağlayacaktır.
- İOKI = IOLI koşuluna göre, doğrunun K (y ekseni kesme noktası) ve L (x ekseni kesme noktası) üzerinden geçtiği noktalar eşit uzaklıkta olmalıdır. Bu, doğrunun mutlaka negatif eğimli bir doğru olduğunu gösterir (m < 0).
Adım 3 - Eğimi ve Denklemi Bulma
Doğrunun eğimi, geometrik olarak noktaların ilişkisine göre hesaplanır:
- A(3, 7) noktasını ve doğruyla ilgili simetrik kesişmeleri tanımlayarak anlayabiliriz.
Seçeneklere göre bu düşen eğimli olan y = -x + 10 veya y = -x + 4 olabilir.
Adım 4 - Doğru denklemi sağlama yaparak seçenek kontrolü
- A(3, 7) noktasını denklemlere koyarak sağlayanı bulalım:
- B seçeneği: y = -x + 10y = -3 + 10 = 7Sağladı.
- D seçeneği: y = -x + 4y = -3 + 4 = 1Sağlamadı.
- B seçeneği: y = -x + 10
Dolayısıyla doğru denklemi B seçeneği: y = -x + 10 olmalıdır.
Sonuç:
Doğru yanıt: B) y = -x + 10
Şekildeki koordinat sisteminde A(3, 7) noktasından geçen ve eksenleri K ve L noktalarında kesen d doğrusunun denklemi nedir? (|OK| = |OL| koşuluyla)
Cevap:
Problemi Anlama
- A(3,7) noktasından geçen bir doğru var.
- Bu doğru, x ve y eksenlerini K ve L noktalarında kesiyor.
- Doğrunun x eksenini kestiği noktaya L ve y eksenini kestiği noktaya K denmiş.
- |OK| = |OL|, yani orijinden K ve L noktalarına olan uzaklıklar eşit.
Doğru Denklemini Genel Olarak Yazalım
Bir doğrunun denklemi:
A(3,7) noktası doğru üzerinde olduğuna göre yerine yazalım:
Doğrunun Ekseni Kestiği Noktalar:
- y eksenini kestiği yer: x=0 \Rightarrow y=n, K(0,n)
- x eksenini kestiği yer: y=0 \Rightarrow 0=mx+n \Rightarrow x = -\frac{n}{m}, L$(-\frac{n}{m}, 0)$
Orijinden Olan Uzaklıklar
Orijinden bu iki noktaya olan uzaklıklar:
- |OK| = |n|
- |OL| = \left| -\frac{n}{m} \right|
Koşul: |OK| = |OL| \implies |n| = \left| -\frac{n}{m} \right| \implies |n| = \left| \frac{n}{m} \right|
Buradan, m = \pm 1 olmalı (çünkü |n| = |n|/|m| \to |m|=1).
Seçeneklerde Eğimi Kontrol Edelim
Seçeneklerdeki doğruların eğimleri:
- A) y = x + 10 (m=1)
- B) y = -x + 10 (m=-1)
- C) y = x + 4 (m=1)
- D) y = -x + 4 (m=-1)
Yani m = 1 veya m = -1 oluyor, bu doğru.
Şimdi, A(3,7) Noktasının Doğruya Uygunluğunu Kontrol Edelim
1. y = x + 10 \rightarrow (3,7) Noktası
7 = 3 + 10 \rightarrow 7 \neq 13 (uymaz)
2. y = -x + 10
7 = -3 + 10 \rightarrow 7 = 7 (uydu!)
3. y = x + 4
7 = 3 + 4 \rightarrow 7 = 7 (uydu)
4. y = -x + 4
7 = -3 + 4 \rightarrow 7 = 1, (uymaz)
Yani y = -x + 10 VE y = x + 4 A(3,7) noktasından geçiyor.
Son Karar: Orijine Eşit Uzaklık Koşulu
Hatırlatma: y eksenini n'de, x eksenini x = -n/m'de keser. Uzaklıklar, |n| ve |n/m|.
- y = -x + 10: n = 10, m = -1 \Rightarrow |n| = |n/m| = 10
- y = x + 4: n = 4, m = 1 \Rightarrow |n| = |n/m| = 4
İkisi de bu koşulu sağladı. Fakat y = -x + 10 ifadesinde K noktası daha üsttedir ve doğrunun eğimi eksiden dolayı y eksenini pozitif, x eksenini pozitif tarafta keser. Soruda şekle bakarsak, K noktası pozitif y ekseninde, L pozitif x eksenindedir ve doğrunun eğimi negatiftir.
Bu nedenle, doğru cevap: B seçeneğidir.
Doğrunun Denklemi:
B) y = -x + 10
Çözüm Özeti:
- Eğimin negatif olduğu ve verilen noktadan geçtiği tek seçenek budur.
- Eksenleri kestiği noktalarda orijinden uzaklıklar eşittir.
Şekildeki koordinat sisteminde A(3, 7) noktasından geçen, eksenleri K ve L noktalarında kesen ve |OK| = |OL| koşulunu sağlayan d doğrusunun denklemi nedir?
İçindekiler
- Konu Özeti ve Temel Kavramlar
- Doğrunun Genel Denklemi ve Bilinen Bilgiler
- Symetri Koşulu: |OK| = |OL| ve Yorumu
- A(3,7) Noktasının Sağlanması
- Alternatiflerin Kontrolü ve Sonuç
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Konu Özeti ve Temel Kavramlar
- Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar:
- y eksenini kestiği yer: x=0 için y=b olur.
- x eksenini kestiği yer: y=0 için x bulunur.
- |OK| = |OL| koşulu: O (0,0) noktası ile bu kesişim noktalarının mutlak uzaklıklarının eşit olması demektir. Yani K(0, b) ve L(a, 0) için |OK| = |OL| \Rightarrow \sqrt{0^2+b^2} = \sqrt{a^2+0^2} \implies |a| = |b|.
2. Doğrunun Genel Denklemi ve Bilinen Bilgiler
Doğrunun denklemi y = mx + c şeklindedir.
- A(3,7) noktası doğrunun üzerindeyse:7 = m \cdot 3 + c
- y eksenini kestiği yer: x=0 \rightarrow y = c
- x eksenini kestiği yer: y=0 \rightarrow 0=mx+c \rightarrow x = -\frac{c}{m}
Bu iki nokta K(0, c) ve L\left(-\frac{c}{m}, 0\right)
- Orijinle aralarındaki uzaklıklar:
|OK| = |c|, |OL| = \left|-\frac{c}{m}\right|
Bu uzaklıklar eşit:
|c| = \left|-\frac{c}{m}\right| \implies |m| = 1
Yani eğim m ya 1 ya da -1 olmalı.
3. Symetri Koşulu: |OK| = |OL| ve Yorumu
İki alternatif var:
- m = 1
- m = -1
Alternatifler:
- y = x + c veya y = -x + c (Burada c sabit terim.)
4. A(3,7) Noktasının Sağlanması
Şimdi verilen seçeneklere bakalım. A(3, 7) noktası her denklemde yerine yazılır ve c’yi buluruz:
- A şıkkı: y = x + 10:7 = 3 + 10 \rightarrow 7 = 13 \quad \text{(Yanlış)}
- B şıkkı: y = -x + 10:7 = -3 + 10 \rightarrow 7 = 7 \quad \text{(Doğru!)}
- C şıkkı: y = x + 47 = 3 + 4 \rightarrow 7 = 7 \quad \text{(Doğru fakat m=1 olmalı)}
- D şıkkı: y = -x + 47 = -3 + 4 \rightarrow 7 = 1 \quad \text{(Yanlış)}
Şimdi simetri koşuluna bakalım: y = -x + 10 (B şıkkı) için:
-
y eksenin kestiği yer: x=0\to y=10 → K(0,10)
-
x eksenin kestiği yer: y=0\to 0=-x+10 \to x=10 → L(10,0)
-
|OK|=10, |OL|=10 → Sağlanıyor!
y=x+4 için:
- y eksenin kestiği yer: x=0\to y=4 → K(0,4)
- x eksenin kestiği yer: 0=x+4 \to x=-4 → L(-4,0)
- |OK|=4, |OL|=4 → Fakat L noktası negatif tarafta, şekle uymuyor!
Şekilde L noktası pozitif x ekseninde, bu nedenle B seçeneği uygundur.
5. Alternatiflerin Kontrolü ve Sonuç
| Seçenek | Sağlama | A(3,7)'yi Sağlar mı? | |OK|=|OL|? | Doğru mu? |
|-----------|--------------|-----------------------|-------------|:---------
| y=x+10 | 7\neq13 | Hayır | Evet | Hayır |
| y=-x+10 | 7=7 | Evet | Evet | Evet |
| y=x+4 | 7=7 | Evet | Evet | Hayır (L negatif)|
| y=-x+4 | 7\neq1 | Hayır | Evet | Hayır |
6. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Hesaplama/Sonuç |
|---|---|---|
| Eğimi bul | $ | OK |
| $A(3,7)$’yi yerine koy | y = mx + c | 7 = 3m + c |
| Kesişim noktalarını bul | y ekseni c, x ekseni -\frac{c}{m} | |
| Seçenekleri dene | B seçeneği: y=-x+10 | Sağlar: K(0,10), L(10,0) |
| Sonuç | Doğru Yanıt | B şıkkı |
7. Kısa Özet
A(3,7) noktasından geçen, eksenleri K(0,10) ve L(10,0) noktalarında kesen ve |OK| = |OL| koşulunu sağlayan doğrunun denklemi:
y = -x + 10 (B şıkkı)
IOKI = IOLI olduğuna göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarla soruyu çözelim:
1. Noktanın Koordinatlarını Belirleme
• Verilen nokta: A(3, 7)
• d doğrusu, x eksenini L noktasında, y eksenini K noktasında kesmektedir.
Bu tip sorularda, eksenleri kesen doğruyu şu şekilde ifade edebiliriz:
Burada,
- a doğruyun x eksenini kestiği (L noktasının) absis değeri,
- b doğruyun y eksenini kestiği (K noktasının) ordinat değeridir.
2. Verilen Noktanın Doğru Üzerinde Olması
A(3,7) noktası d doğrusu üzerinde olduğuna göre:
3. IOKI = IOLI Koşulu (İki Kesme Noktasının Eşit Olması)
IOKI = IOLI ifadesi geometrik olarak, O (orijin) ile kesişim noktalarının simetrik bir üçgen oluşturduğunu gösterir. Bu durumda a = b olduğu düşünülebilir (çünkü doğru, x ve y eksenlerini eşit uzaklıklarda kesmektedir).
Dolayısıyla,
dersek,
4. Doğrunun Denklemini Yazma
a = b = 10 olduğuna göre doğru denklemi:
Bu ifade seçenekler arasında B) y = -x + 10 biçiminde verilmiştir.
5. Sonuç
Verilen koşula (IOKI = IOLI) göre d doğrusunun denklemi, y = -x + 10 şeklindedir.