Aşağıda verilen kartların üzerinde yazan tam sayi-
lardan iki tanesi seçiliyor.
Seçilen kartlardan küçük olan taban, büyük olan
Buna göre oluşturulabilecek en büyük ğslü ifa-
kuvvet olacak biçimde üslü ifadeler oluşturuluyor.
denin değeri kaçtır?
D)
Üslü İfade Problemi Çözümü
Kullanılan Kural: Üslü ifadelerde küçük sayı taban, büyük sayı kuvvet olarak seçilir. Negatif tabanlı sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif sonuç verir. Bir üslü ifadenin değerini büyütmek için sonucun pozitif olması ve sayının mutlak değerinin mümkün olduğunca büyük olması hedeflenir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Olası İfadeleri Belirleme
Kartlardaki sayılar: \{-4, -3, -2, -1\}. Kurala göre küçük olan taban, büyük olan kuvvet olmalıdır.
- (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = -\frac{1}{64}
- (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}
- (-4)^{-1} = \frac{1}{(-4)^1} = -\frac{1}{4}
- (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}
- (-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = -\frac{1}{3}
- (-2)^{-1} = \frac{1}{(-2)^1} = -\frac{1}{2}
Adım 2 — Değerleri Karşılaştırma
Elde edilen sonuçlar: -\frac{1}{64}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}.
Negatif değerler sıfırdan küçüktür. Pozitif değerler arasında sıralama yaparsak:
\frac{1}{16} \approx 0,0625
\frac{1}{9} \approx 0,1111
Bu durumda \frac{1}{9} değeri, \frac{1}{16} değerinden daha büyüktür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \frac{1}{9} (C seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Negatif Üs
- Tanım: Bir sayının negatif kuvveti, o sayının çarpımsal tersinin pozitif kuvvetini ifade eder (a^{-n} = \frac{1}{a^n}).
- Bu problemde: Negatif tam sayıların negatif kuvvetleri alınarak rasyonel sayılar elde edilmiştir.
2. Negatif Tabanlı Üsler
- Tanım: Taban negatif olduğunda, kuvvet çiftse sonuç pozitif, kuvvet tekse sonuç negatiftir.
- Bu problemde: En büyük değeri bulmak için çift kuvvetli olan pozitif sonuçlar ((-4)^{-2} ve (-3)^{-2}) arasından seçim yapılmıştır.
Sık Yapılan Hatalar:
Sayıların büyüklüğünü karıştırmak
- Yanlış: Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olanın daha büyük olduğunu düşünmek.
- Doğru: Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür (-\frac{1}{3} > -\frac{1}{2} gibi).
- Neden yanlış: Sayı doğrusunda solda kalan sayılar her zaman daha küçüktür.
Seçim kuralını yanlış uygulamak
- Yanlış: Büyük sayıyı taban yapmak.
- Doğru: Soruda belirtildiği üzere her zaman daha küçük olan sayıyı taban olarak seçmek.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü ifade sorusu çözmemi ister misin?
küçük olan taban diyor
Soru Analizi ve Düzeltme
Kural: Soruda belirtildiği üzere, verilen sayılardan küçük olan taban, büyük olan ise kuvvet olmalıdır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Sayıları Kurala Göre Eşleştirme
Elimizdeki sayılar: \{-4, -3, -2, -1\}.
Bu sayılardan ikisini seçip küçük olanı taban, büyük olanı kuvvet yapalım:
- -4 (küçük) ve -3 (büyük) seçilirse: (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = -\frac{1}{64}
- -4 (küçük) ve -2 (büyük) seçilirse: (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}
- -4 (küçük) ve -1 (büyük) seçilirse: (-4)^{-1} = \frac{1}{(-4)^1} = -\frac{1}{4}
- -3 (küçük) ve -2 (büyük) seçilirse: (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}
- -3 (küçük) ve -1 (büyük) seçilirse: (-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = -\frac{1}{3}
- -2 (küçük) ve -1 (büyük) seçilirse: (-2)^{-1} = \frac{1}{(-2)^1} = -\frac{1}{2}
Adım 2 — Sonuçları Karşılaştırma
Elde ettiğimiz değerleri inceleyelim:
- Negatif değerler (-\frac{1}{64}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}) her zaman pozitif değerlerden küçüktür.
- Pozitif kalan iki sonuç: \frac{1}{16} ve \frac{1}{9}.
- Payları eşit olan kesirlerde paydası küçük olan daha büyüktür. 9 < 16 olduğu için \frac{1}{9} > \frac{1}{16} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \frac{1}{9} (C seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Rasyonel Sayılarda Sıralama
- Tanım: Payları eşit olan pozitif kesirlerde, paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
- Bu problemde: \frac{1}{9} ve \frac{1}{16} karşılaştırılırken bu kural kullanılmıştır.
Sık Yapılan Hatalar:
Negatif Sayılarda Hatalı Sıralama
- Yanlış: Paydası büyük olan kesrin daha büyük olduğunu düşünmek.
- Doğru: Pozitif bir basit kesirde payda küçüldükçe sayının değeri 1’e yaklaşır ve büyür.
Taban ve Kuvvet Karışıklığı
- Yanlış: Sayıları rastgele yerleştirmek.
- Doğru: Her zaman iki sayıdan sayı doğrusunda solda olanı (daha küçük olanı) tabana yazmalısın.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmemi ister misin?