Ujkpihbj

YKS TYT
1

17452280361074703334360545224281
174522803610747033343605452242813024×4032 371 KB

2

Given Function Question

The problem provided in the image reads:

Gerçek sayılarda türevlenebilir bir fonksiyon için,
f(2x + 4) = x² + 4x + 2 olduğuna göre,
f(4) - f(10) ifadesinin değeri kaçtır?

Options:
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

Solution

We are given the functional equation:

f(2x + 4) = x^2 + 4x + 2

Let’s proceed step by step:

Step 1: Solve for f(4)

To find f(4), substitute 2x + 4 = 4 into the given functional equation. Solving for x:

2x + 4 = 4
2x = 0 \implies x = 0

Now substitute x = 0 into the equation f(2x + 4) = x^2 + 4x + 2:

f(4) = (0)^2 + 4(0) + 2 = 2

So, f(4) = 2.

Step 2: Solve for f(10)

To find f(10), substitute 2x + 4 = 10 into the given functional equation. Solving for x:

2x + 4 = 10
2x = 6 \implies x = 3

Now substitute x = 3 into the equation f(2x + 4) = x^2 + 4x + 2:

f(10) = (3)^2 + 4(3) + 2
f(10) = 9 + 12 + 2 = 23

So, f(10) = 23.

Step 3: Calculate f(4) - f(10)

Now subtract f(10) from f(4):

f(4) - f(10) = 2 - 23 = -21

Final Answer:

The value of f(4) - f(10) is -21. There seems to be no answer matching this, can you recheck the data?

3

Aşağıdaki adımlarla sonuca ulaşabiliriz:

  1. Öncelikle f(4) değerini bulmak için bağıntıda 2 x + 4 = 4 olacak şekilde x = 0 alınır:
    f(2 · 0 + 4) = f(4) = 0² + 4 · 0 + 2 = 2.
    Dolayısıyla f(4) = 2’dir.

  2. f(0) değerini bulmak için 2 x + 4 = 0 olacak şekilde x = −2 alınır:
    f(2 · (−2) + 4) = f(0) = (−2)² + 4 · (−2) + 2 = 4 − 8 + 2 = −2.
    Dolayısıyla f(0) = −2’dir.

  3. Artık f(4) − f(0) = 2 − (−2) = 4 bulunur.

  4. İstenen ifade f(f(4) − f(0)) = f(4) = 2’dir.

Dolayısıyla doğru cevap 2 olur.

4

20. Gerçek sayılarda türevlenebilir fonksiyon f için, f(2x + 4) = x^2 + 4x + 2 olduğuna göre f(4) - f(10) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap:

Aşağıda, fonksiyonun tanımından yola çıkarak adım adım f(4) ve f(10) değerlerinin nasıl bulunduğunu inceleyelim.

1. Verilen Fonksiyon Denklemi

Soruya göre, herhangi bir reel x değeri için

f(2x + 4) = x^2 + 4x + 2

Bu denklem, f fonksiyonunun girdi olarak (2x+4) aldığında çıktısının (x^2 + 4x + 2) olduğunu belirtir.

2. Değişken Dönüşümünü Yapma

Fonksiyonun daha genel formunu, y = 2x + 4 şeklinde değişken dönüşümü yaparak bulabiliriz.
• Bu durumda y = 2x + 4 \implies x = \frac{y - 4}{2}.

Fonksiyonun genel ifadesini f(y) cinsinden elde etmek için, yukarıdaki x değerinizi verilen ifadede yerine koyarız:

f(y) \;=\; f(2x + 4) \;=\; x^2 + 4x + 2 \quad\text{ile}\quad x = \frac{y - 4}{2}.

3. f(y) Fonksiyonunu Elde Etme

Şimdi x = \frac{y - 4}{2} ifadesini x^2 + 4x + 2 içine yerleştirelim:

  1. İlk olarak x^2 terimi:

    \left(\frac{y-4}{2}\right)^2 \;=\; \frac{(y-4)^2}{4} \;=\; \frac{y^2 - 8y +16}{4}.

  2. İkinci olarak 4x terimi:

    4 \left(\frac{y-4}{2}\right) \;=\; 2(y - 4) \;=\; 2y - 8.

  3. Tüm terimleri toplayalım ve +2 sabitini de ekleyelim:

    f(y) \;=\; \frac{y^2 - 8y +16}{4} \;+\; (2y - 8) \;+\; 2.

  4. Daha sonra bu ifadeleri ortak payda altında birleştirelim. 2y = \frac{8y}{4} ve -6 = \frac{-24}{4} olarak düzenlemek için sabitleri de paydalı hale getiriyoruz. Ayrıntılı toplama:

    • \frac{y^2 - 8y +16}{4} ile
    • 2y - 8 + 2 = 2y - 6 ifadesini yazalım:
    2y - 6 = \frac{8y}{4} - \frac{24}{4}.

    Sonuç olarak:

    f(y) = \frac{y^2 - 8y +16}{4} + \frac{8y}{4} \;-\; \frac{24}{4} = \frac{y^2 - 8y +16 + 8y - 24}{4} = \frac{y^2 - 8}{4}.

Dolayısıyla

\boxed{\,f(y) = \frac{y^2 - 8}{4}\,}.

4. f(4) ve f(10) Değerlerini Bulma

Artık $f$’i genel formda elde ettiğimize göre, istenen değerleri kolayca hesaplayabiliriz.

  1. f(4) değeri:

    f(4) = \frac{4^2 - 8}{4} = \frac{16 - 8}{4} = \frac{8}{4} = 2.

  2. f(10) değeri:

    f(10) = \frac{10^2 - 8}{4} = \frac{100 - 8}{4} = \frac{92}{4} = 23.

5. Aranan İfade: f(4) - f(10)

Artık soruda istenen farkı hesaplarız:

f(4) - f(10) = 2 \;-\; 23 = \;-\;21.

Sonuç olarak,

\boxed{-21}

değerine ulaşırız.

Cevap: -21

@Muhammet_Emin_Durak